1. В случайном опыте события А и В независимы. Известно, что P(A) = 0,4 и P(B) = 0,7. Найдите вероятность события А П В. 2. Симметричный игральный кубик бросают дважды. Рассмотрим три события: Х «в первый раз выпало 5 очков», Y «сумма выпав- ших очков больше 9» и Z «во второй раз выпало больше 4 очков». а) Какие два из этих трёх событий являются независимыми? б) Известно, что наступили события Х и У. Какова теперь вероят- ность события Z? Объясните ответ. 3. На рисунке изображено дерево случайного опыта S. а) Являются ли события А и В независимыми? Объясните ответ. б) Найдите вероятность события С по данным рисунка. 4*. В коробке под классной доской лежат 6 красных и 6 синих маркеров. Ваня выбирает по очереди два случайных маркера. Рассмотрим со- бытия А «первый маркер синий» и В «второй маркер красный». а) Являются ли события А и В в этом опыте независимыми? б) Изобразите подходящее дерево этого случайного опыта и найдите вероятность события с «выбранные маркеры оказались одного цвета».

Выполняю задание.

1. Т.к. события А и В независимы, то P(A ∩ B) = P(A) × P(B).

   P(A) = 0,4

   P(B) = 0,7

   P(A ∩ B) = 0,4 × 0,7 = 0,28

   Ответ: 0,28

2. а) Определим, какие события являются независимыми. В данном случае, результаты первого броска кубика не влияют на результаты второго броска, поэтому события Х и Z являются независимыми.

   б) События Х и Y произошли, то есть в первый раз выпало 5 очков, а сумма выпавших очков больше 9. Это означает, что во второй раз выпало 5 или 6 очков (5 + 5 = 10 > 9, 5 + 6 = 11 > 9). Событие Z - во второй раз выпало больше 4 очков. Таким образом, событие Z наступило. Вероятность события Z при условии, что наступили события X и Y, равна 1, так как выпадение 5 или 6 очков во второй раз удовлетворяет условию события Z.

   Ответ: а) X и Z; б) 1

3. a) Проверим, являются ли события А и В независимыми. Для этого необходимо проверить, выполняется ли равенство P(A ∩ B) = P(A) × P(B). По рисунку видно, что P(A) = 1/5 + 4/5 = 1, P(B) = 1/3 + 2/3 = 1. Также видно, что

   $$P(A) = \frac{1}{5} + \frac{4}{5} = 1$$

   $$P(B) = \frac{1}{3} + \frac{2}{3} = 1$$

   Вероятность пересечения событий A и B не равна произведению их вероятностей, так как события A и B не являются несовместными, следовательно, события А и В не являются независимыми.

   б) Найдем вероятность события С. По рисунку вероятность события С складывается из вероятностей двух ветвей:

   $$P(C) = \frac{4}{5} \cdot \frac{2}{3} + \frac{1}{5} \cdot \frac{2}{3} = \frac{8}{15} + \frac{2}{15} = \frac{10}{15} = \frac{2}{3}$$

   Ответ: a) не являются; б) 2/3

4. 4*. В коробке под классной доской лежат 6 красных и 6 синих маркеров. Ваня выбирает по очереди два случайных маркера. Рассмотрим события А «первый маркер синий» и В «второй маркер красный».

   a) Определим, являются ли события А и В в этом опыте независимыми.

   P(A) = 6/12 = 1/2 (вероятность вытащить первый синий маркер)

   P(B|A) = 6/11 (вероятность вытащить второй красный маркер после того, как вытащили синий)

   P(B) = (6/12)*(6/11) + (6/12)*(5/11) = 6/22 + 5/22 = 11/22 = 1/2 (вероятность вытащить второй красный маркер)

   Так как P(B|A) ≠ P(B), то события А и В являются зависимыми.

   б) Изобразим подходящее дерево случайного опыта и найдем вероятность события С «выбранные маркеры оказались одного цвета».

   Дерево будет иметь четыре ветви:

   1. Синий - Синий: (6/12) * (5/11) = 30/132
   2. Синий - Красный: (6/12) * (6/11) = 36/132
   3. Красный - Синий: (6/12) * (6/11) = 36/132
   4. Красный - Красный: (6/12) * (5/11) = 30/132

   Событие С (выбраны маркеры одного цвета) соответствует случаям 1 и 4:

   P(C) = 30/132 + 30/132 = 60/132 = 5/11

   Ответ: a) не являются; б) 5/11