526 В ромбе высота, равная \(\frac{4\sqrt{2}}{6}\) см, составляет \(\frac{2}{3}\) большей диагонали. Найдите площадь ромба.

Обозначим большую диагональ ромба как d1, а меньшую - как d2.

Из условия задачи известно, что высота ромба h = \(\frac{4\sqrt{2}}{6}\) см и она составляет \(\frac{2}{3}\) большей диагонали, то есть:

$$h = \frac{2}{3}d_1$$

Отсюда можно найти большую диагональ:

$$d_1 = \frac{3}{2}h = \frac{3}{2} \cdot \frac{4\sqrt{2}}{6} = \frac{12\sqrt{2}}{12} = \sqrt{2} \text{ см}$$

Площадь ромба можно найти как произведение высоты на сторону, к которой она проведена. Также площадь ромба можно найти как половину произведения его диагоналей:

$$S = \frac{1}{2} d_1 d_2$$

Выразим площадь ромба через высоту и сторону. Пусть сторона ромба равна a. Тогда площадь равна:

$$S = a \cdot h$$

Известно, что $$h = \frac{4\sqrt{2}}{6} = \frac{2\sqrt{2}}{3}$$

Чтобы найти площадь, нужно знать сторону ромба или меньшую диагональ. Не хватает данных для однозначного решения.

Предположим, что мы знаем площадь ромба. Тогда $$S = a \cdot \frac{2\sqrt{2}}{3}$$.

Если мы знаем большую диагональ, то $$S = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{2} \cdot d_2$$

Приравняем эти выражения для площади:

$$a \cdot \frac{2\sqrt{2}}{3} = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{2} \cdot d_2$$

Отсюда можно выразить сторону ромба через меньшую диагональ или наоборот:

$$a = \frac{3}{4} d_2$$

Также заметим, что площадь ромба равна произведению стороны на высоту:

$$S = a \cdot h = a \cdot \frac{2\sqrt{2}}{3} = \frac{3}{4} d_2 \cdot \frac{2\sqrt{2}}{3} = \frac{\sqrt{2}}{2}d_2$$

Известно, что $$S = \frac{1}{2} \cdot d_1 d_2 = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{2} \cdot d_2$$

Ответ: \(\frac{\sqrt{2}}{2}d_2\) см², где \(d_2\) - меньшая диагональ ромба