В равносторонний треугольник со стороной 1 вписан квадрат так, что одна из сторон квадрата лежит на стороне треугольника, а на каждой из остальных сторон лежит по одной вершине квадрата. Найдите сторону квадрата.

Пусть сторона квадрата равна \(x\). Его нижняя сторона лежит на основании равностороннего треугольника, а две верхние вершины находятся на боковых сторонах.

Высота равностороннего треугольника со стороной \(1\) равна \(\frac{\sqrt{3}}{2}\). Расстояние от основания до верхней стороны квадрата равно \(x\), поэтому верхняя сторона квадрата отстоит от вершины треугольника на \(\frac{\sqrt{3}}{2}-x\).

Ширина треугольника на этой высоте, по подобию треугольников, равна \(1-\frac{2x}{\sqrt{3}}\). Она совпадает со стороной квадрата:

\[x=1-\frac{2x}{\sqrt{3}}.\]

Тогда

\[x\left(1+\frac{2}{\sqrt{3}}\right)=1,\qquad x=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}+2}=2-\sqrt{3}.\]

Ответ: \(2-\sqrt{3}\).