15. В равностороннем треугольнике АВС с основанием АВ проведены биссектрисы АК и BN , которые пересекаются в точке D. Найди величину угла KDN. Ответ дай в градусах.

Решение:

1. Так как треугольник ABC равносторонний, то все его углы равны 60 градусам: \[\angle A = \angle B = \angle C = 60^\circ\]
2. AK и BN - биссектрисы углов A и B соответственно. Биссектриса делит угол пополам, поэтому: \[\angle BAK = \angle CAK = \frac{1}{2} \angle A = \frac{1}{2} \cdot 60^\circ = 30^\circ\] \[\angle ABN = \angle CBN = \frac{1}{2} \angle B = \frac{1}{2} \cdot 60^\circ = 30^\circ\]
3. Рассмотрим треугольник ABK. Сумма углов в треугольнике равна 180 градусам. Поэтому: \[\angle AKB = 180^\circ - \angle BAK - \angle ABK = 180^\circ - 30^\circ - 60^\circ = 90^\circ\]
4. Рассмотрим треугольник ABN. Аналогично: \[\angle ANB = 180^\circ - \angle ABN - \angle BAN = 180^\circ - 30^\circ - 60^\circ = 90^\circ\]
5. Теперь рассмотрим четырехугольник ANBK. Сумма углов в четырехугольнике равна 360 градусам. Поэтому: \[\angle NKB = 360^\circ - \angle ANB - \angle ABC - \angle AKB = 360^\circ - 90^\circ - 60^\circ - 90^\circ = 120^\circ\]
6. Угол KDN является частью угла ANB. Так как AK и BN - биссектрисы, то: \[\angle KDN = 180 - (\angle CAK + \angle CBN) = 180 - (30 + 30) = 180 - 60 = 120\]