25. В равнобедренную трапецию, периметр которой равен 180, а площадь равна 1620, можно вписать окружность. Найдите расстояние от точки пе- ресечения диагоналей трапеции до её меньшего основания.

Пусть дана равнобедренная трапеция ABCD, AB=CD, BC < AD. Периметр трапеции равен 180, площадь равна 1620.

Так как в трапецию можно вписать окружность, то AB+CD = BC+AD. Следовательно, 2AB = 180/2 = 90, AB = 45.

Площадь трапеции равна полусумме оснований, умноженной на высоту: S = ((BC+AD)/2) * h = 1620.

Так как BC+AD = 90, то (90/2) * h = 1620, 45 * h = 1620, h = 1620/45 = 36.

Пусть O - точка пересечения диагоналей трапеции. Треугольники BOC и AOD подобны по двум углам. Коэффициент подобия равен k = BC/AD.

Так как в трапецию вписана окружность, то высота трапеции равна 2r, где r - радиус вписанной окружности. Следовательно, r = h/2 = 36/2 = 18.

Высота треугольника BOC, опущенная из точки O на сторону BC, равна h1. Высота треугольника AOD, опущенная из точки O на сторону AD, равна h2. Тогда h1 + h2 = h = 36.

Так как треугольники BOC и AOD подобны, то h1/h2 = BC/AD = k.

h1 = k * h2. k * h2 + h2 = 36. h2 * (k+1) = 36. h2 = 36 / (k+1).

Площадь трапеции также можно выразить как S = (BC+AD) * r = 1620. 90 * 18 = 1620. (BC+AD)/2 = 45.

Пусть BC = x, тогда AD = 90 - x. k = x / (90-x). h2 = 36 / (x/(90-x) + 1) = 36 / ((x+90-x)/(90-x)) = 36 * (90-x) / 90 = 2/5 * (90-x).

Нужно найти расстояние от точки пересечения диагоналей до меньшего основания, то есть найти h1. h1 = h - h2 = 36 - 2/5 * (90-x) = 36 - 36 + 2/5 * x = 2/5 * x.

Так как в равнобедренную трапецию можно вписать окружность, то высота трапеции является средним геометрическим между основаниями: h^2 = BC * AD.

36^2 = x * (90-x). 1296 = 90x - x^2. x^2 - 90x + 1296 = 0.

D = 90^2 - 4 * 1 * 1296 = 8100 - 5184 = 2916 = 54^2.

x1 = (90+54)/2 = 144/2 = 72. x2 = (90-54)/2 = 36/2 = 18. Так как BC < AD, то BC = 18, AD = 72.

h1 = 2/5 * 18 = 36/5 = 7.2.

Ответ: 7.2