В равнобедренную трапецию, периметр которой равен 200, а площадь равна 2000, можно вписать окружность. Найдите расстояние от точки пересечения диагоналей трапеции до её меньшего основания.

Для решения задачи необходимо воспользоваться свойствами равнобедренной трапеции, в которую вписана окружность.

1. Если в четырехугольник можно вписать окружность, то суммы его противоположных сторон равны. В трапеции это означает, что сумма оснований равна сумме боковых сторон.
2. В равнобедренной трапеции боковые стороны равны.
3. Площадь трапеции равна полусумме оснований, умноженной на высоту.

Обозначим основания трапеции как $$a$$ и $$b$$, где $$a$$ - большее основание, $$b$$ - меньшее основание, а боковые стороны как $$c$$. Высота трапеции - $$h$$.

Периметр трапеции равен $$P = a + b + 2c = 200$$. Так как в трапецию вписана окружность, то $$a + b = 2c$$. Следовательно, $$2c + 2c = 200$$, откуда $$c = 50$$.

Тогда $$a + b = 100$$. Площадь трапеции равна $$S = \frac{a + b}{2} \cdot h = 2000$$. Подставляя $$a + b = 100$$, получим $$\frac{100}{2} \cdot h = 2000$$, откуда $$h = 40$$.

Высота равнобедренной трапеции, в которую вписана окружность, равна диаметру вписанной окружности. Следовательно, радиус вписанной окружности $$r = \frac{h}{2} = 20$$.

Так как в трапецию можно вписать окружность, то высота трапеции является средним геометрическим оснований: $$h = \sqrt{a \cdot b}$$. Отсюда $$40 = \sqrt{a \cdot b}$$, значит $$a \cdot b = 1600$$.

Решаем систему уравнений:$$\begin{cases}a + b = 100 \\a \cdot b = 1600\end{cases}$$

Выразим $$a = 100 - b$$ и подставим во второе уравнение: $$(100 - b) \cdot b = 1600$$

$$100b - b^2 = 1600$$

$$b^2 - 100b + 1600 = 0$$

$$D = (-100)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1600 = 10000 - 6400 = 3600$$

$$b_1 = \frac{100 + \sqrt{3600}}{2} = \frac{100 + 60}{2} = 80$$

$$b_2 = \frac{100 - \sqrt{3600}}{2} = \frac{100 - 60}{2} = 20$$

Так как $$b$$ - меньшее основание, то $$b = 20$$, тогда $$a = 100 - 20 = 80$$.

Пусть $$O$$ - точка пересечения диагоналей трапеции. $$O$$ делит высоту трапеции в отношении, равном отношению оснований, считая от вершины трапеции. Пусть $$x$$ - расстояние от точки $$O$$ до меньшего основания $$b$$. Тогда $$\frac{x}{h-x} = \frac{b}{a}$$.

$$\frac{x}{40-x} = \frac{20}{80} = \frac{1}{4}$$

$$4x = 40 - x$$

$$5x = 40$$

$$x = 8$$

Ответ: 8