В равнобедренной трапеции с основаниями AD и BC угол D равен 76°. Диагональ АС образует со стороной CD угол 49°. Сколько градусов составляет угол между этой диагональю и меньшим основанием трапеции?

Решение:

В равнобедренной трапеции углы при каждом основании равны. Значит, \( (A) = (D) = 76° \) и \( (B) = (C) \).

Сумма углов, прилежащих к одной боковой стороне, равна 180°. Поэтому:

\[ (C) = 180° - (D) = 180° - 76° = 104° \]

Угол \( (ADC) = 76° \).

Угол \( (ACD) = 49° \).

В треугольнике ACD найдём угол \( (CAD) \):

\[ (CAD) = 180° - (ADC) - (ACD) = 180° - 76° - 49° = 55° \]

Диагональ AC образует с основанием AD угол \( (CAD) = 55° \). Это угол между диагональю и большим основанием.

Нам нужно найти угол между диагональю AC и меньшим основанием BC. В трапеции BC || AD. Угол между диагональю AC и основанием BC будет равен углу \( (CAD) \) как накрест лежащие углы при параллельных прямых BC и AD и секущей AC.

Однако, в условии сказано, что угол D равен 76°, что означает, что AD — большее основание, а BC — меньшее.

Угол \( (CAD) = 55° \) — это угол между диагональю AC и большим основанием AD.

Угол между диагональю AC и меньшим основанием BC равен накрест лежащему углу \( (ACB) \).

Угол \( (BCD) = 104° \).

Угол \( (ACB) = (BCD) - (ACD) = 104° - 49° = 55° \).

Следовательно, угол между диагональю AC и меньшим основанием BC равен \( (ACB) \).

Угол между диагональю AC и меньшим основанием (BC) равен углу \( (CAD) \) как накрест лежащие углы при параллельных основаниях AD и BC и секущей AC. Таким образом, искомый угол равен \( 55° \).

Ответ: 55°.