В равнобедренной трапеции с основаниями AD и BC угол D равен 64°. Диагональ AC образует со стороной AB угол 29°. Сколько градусов составляет угол между этой диагональю и меньшим основанием трапеции?

Решение:

Дана равнобедренная трапеция ABCD, где AD || BC. Известно, что \( \angle D = 64^{\circ} \) и \( \angle CAB = 29^{\circ} \). Необходимо найти угол между диагональю AC и меньшим основанием BC, то есть \( \angle ACB \).

1. В равнобедренной трапеции углы при основании равны. Значит, \( \angle A = \angle D = 64^{\circ} \) и \( \angle B = \angle C \).
2. В трапеции ABCD, \( \angle DAB = 64^{\circ} \). Этот угол состоит из \( \angle CAB \) и \( \angle CAD \).
3. \( \angle CAD = \angle DAB - \angle CAB = 64^{\circ} - 29^{\circ} = 35^{\circ} \).
4. Так как трапеция равнобедренная, боковые стороны равны: \( AB = CD \).
5. Диагонали равнобедренной трапеции равны: \( AC = BD \).
6. Рассмотрим треугольник ACD. Сумма углов в треугольнике равна \( 180^{\circ} \). \( \angle ACD = 180^{\circ} - \angle D - \angle CAD = 180^{\circ} - 64^{\circ} - 35^{\circ} = 81^{\circ} \).
7. Угол \( \angle C \) трапеции равен \( \angle ACB + \angle ACD \).
8. \( \angle C = \angle B \). В трапеции сумма углов, прилежащих к боковой стороне, равна \( 180^{\circ} \). \( \angle B + \angle C = 180^{\circ} \). Поскольку \( \angle B = \angle C \), то \( \angle C = \angle B = 180^{\circ} / 2 = 90^{\circ} \).
9. Проверка: \( \angle DAB = 64^{\circ} \), \( \angle ABC = 90^{\circ} \). Угол \( \angle BCD = 90^{\circ} \), \( \angle CDA = 64^{\circ} \). Сумма углов \( 64 + 90 + 90 + 64 = 308^{\circ} \). Это неверно.
10. Вернемся к \( \angle C \) трапеции. \( \angle B = 180^{\circ} - \angle DAB = 180^{\circ} - 64^{\circ} = 116^{\circ} \). Таким образом, \( \angle C = 116^{\circ} \).
11. \( \angle ACB = \angle BCD - \angle ACD = 116^{\circ} - 81^{\circ} = 35^{\circ} \).
12. Альтернативный способ: \( AD \) и \( BC \) - основания, \( BC \) - меньшее основание. \( AD \parallel BC \). \( \angle CAD = \angle ACB \) как накрест лежащие при параллельных прямых \( AD \) и \( BC \) и секущей \( AC \).
13. Мы нашли \( \angle CAD = 35^{\circ} \).
14. Следовательно, \( \angle ACB = 35^{\circ} \).

Ответ: 35°.