В равнобедренной трапеции боковая сторона равна 10 см, диагональ — 17 см, а разность оснований — 12 см. Найдите площадь трапеции.

1) Рассмотрим равнобедренную трапецию ABCD, в которой боковая сторона AB = CD = 10 см, диагональ AC = 17 см, разность оснований AD - BC = 12 см.

2) Проведем высоту CH на основание AD. Рассмотрим прямоугольный ΔACH.

По теореме Пифагора:

AH² + CH² = AC²

CH² = AC² - AH²

AH = (AD - HD) = (AD - BC) = 12 см.

3) CH² = 17² - 12² = 289 - 144 = 145.

CH = √145 см.

4) Проведём высоту BK на основание AD. Рассмотрим прямоугольный ΔABK.

AK = HD = 12 см. KB = CH = √145 см.

KB² + AK² = AB²

145 + 144 = 289 ≠ 10² = 100

Такой трапеции не существует.

Если AK = (AD - BC) : 2 = 12 : 2 = 6 см, тогда.

5) KB² + AK² = AB²

KB² = AB² - AK²

KB² = 100 - 36 = 64

KB = 8 см.

CH = KB = 8 см.

6) Площадь трапеции ABCD:

$$S = \frac{AD + BC}{2} \cdot CH$$.

Если $$AD = x$$, $$BC = x - 12$$, то

$$S = \frac{x + x - 12}{2} \cdot 8 = (2x - 12) \cdot 4 = 8x - 48$$

Рассмотрим прямоугольный ΔACH.

AH = AD - HD = AD - BC = $$x - (x - 12) = x - x + 12 = 12$$ см.

$$AC^2 = CH^2 + AH^2$$

$$17^2 = 8^2 + 12^2$$

$$289 = 64 + 144 = 208$$

Получили противоречие, значит, трапецию построить нельзя.

Ответ: такой трапеции не существует.