17. В равнобедренной трапеции ABCD основания равны 10 и 32, а один из углов составляет 135°. Найдите площадь трапеции.

В равнобедренной трапеции углы при каждом основании равны. Так как один из углов равен 135°, то второй угол при том же основании равен тоже 135°. Сумма углов, прилежащих к боковой стороне трапеции, равна 180°, следовательно, углы при другом основании равны 180° - 135° = 45°.

Опустим высоты BE и CF из вершин B и C на основание AD. Тогда ABE и DCF - прямоугольные треугольники с углом 45°. Значит, они равнобедренные, и их катеты AE и DF равны высоте трапеции h.

Так как AD = AE + EF + FD, и EF = BC = 10, то AE + FD = AD - EF = 32 - 10 = 22. Поскольку AE = FD, то AE = FD = 22 / 2 = 11.

В прямоугольном треугольнике ABE: \[\tan 45^\circ = \frac{BE}{AE}\] Так как \(\tan 45^\circ = 1\), то BE = AE = 11. Итак, высота трапеции h = 11.

Площадь трапеции равна полусумме оснований, умноженной на высоту: \[S = \frac{BC + AD}{2} \cdot h = \frac{10 + 32}{2} \cdot 11 = \frac{42}{2} \cdot 11 = 21 \cdot 11 = 231\]

Ответ: 231