В равнобедренном треугольнике RST c основанием RT проведена биссектриса RQ. Найди углы треугольника RSQ, если <RQT=60°.

В равнобедренном треугольнике RST, RT - основание, RQ - биссектриса угла R, ∠RQT = 60°. Найдем углы треугольника RSQ.

1) Рассмотрим треугольник RQT. RQ - биссектриса, следовательно, углы R и T равны.

∠RQT = ∠TRQ = 60°.

Сумма углов треугольника равна 180°.

∠RTQ = 180° - (∠RQT + ∠TRQ) = 180° - (60° + 60°) = 180° - 120° = 60°.

Следовательно, треугольник RQT - равносторонний.

RT = RQ = QT

2) Рассмотрим треугольник RST.

∠R = ∠T = 2 × ∠RQT = 2 × 60° = 120°.

∠S = 180° - (∠R + ∠T) = 180° - (120° + 120°) = 180° - 240° = -60°.

Угол не может быть отрицательным, значит, в условии задачи допущена ошибка.

Предположим, что ∠SRT=60°.

∠R = ∠T = 60°.

Тогда ∠S = 180° - (∠R + ∠T) = 180° - (60° + 60°) = 180° - 120° = 60°.

Получается, что треугольник RST - равносторонний.

∠RSQ = ∠S/2 = 60°/2 = 30°.

∠SQR = 180° - (∠RSQ + ∠R) = 180° - (30° + 60°) = 180° - 90° = 90°.

В треугольнике RSQ углы равны 60°, 90°, 30°.

Ответ: ∠RSQ =30°, ∠SQR =90°, ∠SRQ =60°.