В равнобедренном треугольнике МПК с основанием МК угол М равен 30°. Из вершины № проведена высота №Н, равная 18 см. На высоте NH как на диаметре построена окружность. Найдите длину дуги окружности, которая не принадлежит треугольнику.

Решение:

1. Находим сторону MN:

В прямоугольном треугольнике MNH, угол M = 30°, NH = 18 см (катет, противолежащий углу 30°). Следовательно, гипотенуза MN в два раза больше катета NH:

\( MN = 2 \cdot NH = 2 \cdot 18 \text{ см} = 36 \text{ см} \)

2. Находим сторону MK:

Так как треугольник MNK равнобедренный с основанием MK, то угол K = углу M = 30°.

В треугольнике MNK: \( \angle N = 180° - \angle M - \angle K = 180° - 30° - 30° = 120° \).

По теореме синусов:

\( \frac{MK}{\sin(\angle N)} = \frac{MN}{\sin(\angle K)} \)

\( \frac{MK}{\sin(120°)} = \frac{36}{\sin(30°)} \)

\( MK = \frac{36 \cdot \sin(120°)}{\sin(30°)} = \frac{36 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{1}{2}} = 36 \sqrt{3} \text{ см} \)

3. Находим радиус окружности:

Высота NH является диаметром окружности. Диаметр D = NH = 18 см. Радиус R = D/2 = 18/2 = 9 см.

4. Находим длину дуги окружности, которая не принадлежит треугольнику:

Центр окружности находится в точке O — середине NH. Точка H лежит на основании MK. Окружность пересекает стороны MN и KN.

Нужно найти длину дуги, которая находится вне треугольника. Эта дуга будет больше полуокружности.

Длина дуги вычисляется по формуле: \( L = \frac{\alpha}{360°} \cdot 2 \pi R \), где \( \alpha \) — центральный угол.

Найдем угол \( \angle MOH \), где M — точка на окружности, H — точка касания окружности с основанием.

В прямоугольном треугольнике MNH, \( \cos(\angle MHN) = \frac{NH}{MN} \)

\( \cos(\angle MHN) = \frac{18}{36} = \frac{1}{2} \)

\( \angle MHN = 60° \)

Аналогично, \( \angle KHN = 60° \)

Центральный угол, соответствующий дуге, которая принадлежит треугольнику, равен \( \angle MOH = 2 \cdot \angle KHM = 2 \cdot 60° = 120° \).

Длина дуги, принадлежащей треугольнику: \( L_{внутри} = \frac{120°}{360°} \cdot 2 \pi \cdot 9 \text{ см} = \frac{1}{3} \cdot 18 \pi \text{ см} = 6 \pi \text{ см} \).

Длина всей окружности: \( L_{окружности} = 2 \pi R = 2 \pi \cdot 9 \text{ см} = 18 \pi \text{ см} \).

Длина дуги, которая не принадлежит треугольнику:

\( L_{снаружи} = L_{окружности} - L_{внутри} = 18 \pi \text{ см} - 6 \pi \text{ см} = 12 \pi \text{ см} \).

Ответ: 12π см.