1. В равнобедренном треугольнике MNP с основанием МР и углом ZN = 64° проведена едена высота МН. Найдите ∠PMH. 2. В треугольнике СДЕ проведены биссектрисы СК и ДР, пересекающиеся в точке F, причем ДДFK = 78°. Найдите ДСЕД.

Задача 1

Давай решим эту геометрическую задачу вместе! В равнобедренном треугольнике MNP с основанием MP и углом \(\angle N = 64^\circ\) проведена высота MH. Наша задача - найти угол \(\angle PMH\).

1. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Обозначим \(\angle P = \angle M = x\). Сумма углов в треугольнике равна 180 градусам, поэтому можем записать уравнение:

   \[\angle N + \angle P + \angle M = 180^\circ\] \[64^\circ + x + x = 180^\circ\] \[2x = 180^\circ - 64^\circ\] \[2x = 116^\circ\] \[x = 58^\circ\]

   Таким образом, \(\angle P = \angle M = 58^\circ\).

2. MH - высота, следовательно, \(\angle MHN = \angle MHP = 90^\circ\). Рассмотрим прямоугольный треугольник MHP. Сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна 90 градусам, значит:

   \[\angle PMH + \angle P = 90^\circ\] \[\angle PMH = 90^\circ - \angle P\] \[\angle PMH = 90^\circ - 58^\circ\] \[\angle PMH = 32^\circ\]

Ответ: \(\angle PMH = 32^\circ\)

Задача 2

Теперь давай решим вторую задачу. В треугольнике CDE проведены биссектрисы CK и DP, которые пересекаются в точке F. Известно, что \(\angle DFK = 78^\circ\). Наша цель - найти \(\angle CED\).

1. Угол \(\angle DFK\) и \(\angle PFK\) являются смежными, значит их сумма равна 180 градусам:

   \[\angle DFK + \angle DFC = 180^\circ\] \[\angle DFC = 180^\circ - \angle DFK\] \[\angle DFC = 180^\circ - 78^\circ\] \[\angle DFC = 102^\circ\]

2. Рассмотрим треугольник DFC. Сумма углов в треугольнике равна 180 градусам:

   \[\angle FDC + \angle DCF + \angle DFC = 180^\circ\]

   Так как CK и DP - биссектрисы, то \(\angle FDC = \frac{1}{2} \angle EDC\) и \(\angle DCF = \frac{1}{2} \angle DCE\). Подставим известные значения:

   \[\frac{1}{2} \angle EDC + \frac{1}{2} \angle DCE + 102^\circ = 180^\circ\] \[\frac{1}{2} \angle EDC + \frac{1}{2} \angle DCE = 180^\circ - 102^\circ\] \[\frac{1}{2} \angle EDC + \frac{1}{2} \angle DCE = 78^\circ\] \[\angle EDC + \angle DCE = 2 \times 78^\circ\] \[\angle EDC + \angle DCE = 156^\circ\]

3. Рассмотрим треугольник CDE. Сумма углов в треугольнике равна 180 градусам:

   \[\angle CED + \angle EDC + \angle DCE = 180^\circ\] \[\angle CED = 180^\circ - (\angle EDC + \angle DCE)\] \[\angle CED = 180^\circ - 156^\circ\] \[\angle CED = 24^\circ\]

Ответ: \(\angle CED = 24^\circ\)

Молодец, ты отлично справился с этими задачами! Не останавливайся на достигнутом, и у тебя обязательно получится покорить любые математические вершины!