В равнобедренном треугольнике MNK с основанием МК проведён отрезок МТ так, что ТЄ NK и NT = МТ = КМ. Найди значения углов 1, 2, 3 и 4.

Решение:

1. Треугольник MNK - равнобедренный, значит, углы при основании MK равны: ∠2 = ∠4.
2. NT = MT, следовательно, треугольник NMT - равнобедренный, значит, ∠2 = ∠3.
3. MT = KM, следовательно, треугольник MTK - равнобедренный, значит, ∠3 = ∠4.
4. Обозначим ∠2 = x. Тогда ∠4 = x и ∠3 = x.
5. Рассмотрим треугольник MTK. Сумма углов треугольника равна 180°. Значит, ∠3 + ∠4 + ∠MTK = 180°. Получаем: x + x + ∠MTK = 180°, или 2x + ∠MTK = 180°. Значит, ∠MTK = 180° - 2x.
6. ∠MTK и ∠NTM - смежные углы, поэтому ∠MTK + ∠NTM = 180°. Тогда ∠NTM = 180° - ∠MTK = 180° - (180° - 2x) = 2x.
7. Рассмотрим треугольник NMT. Сумма углов треугольника равна 180°. Значит, ∠1 + ∠2 + ∠NTM = 180°. Получаем: ∠1 + x + 2x = 180°, или ∠1 + 3x = 180°. Значит, ∠1 = 180° - 3x.
8. Рассмотрим треугольник MNK. Сумма углов треугольника равна 180°. Значит, ∠1 + ∠2 + ∠4 = 180°. Получаем: (180° - 3x) + x + x = 180°, или 180° - x = 180°. Значит, x = 36°.
9. Тогда, ∠1 = 180° - 3x = 180° - 3 * 36° = 180° - 108° = 72°.
10. ∠2 = ∠3 = ∠4 = 36°.

Ответ: ∠1 = 72°, ∠2 = 36°, ∠3 = 36°, ∠4 = 36°.