В равнобедренном треугольнике DBC проведена биссектриса СМ угла С у основания DC, ∠CMB = 126°. Определи величины углов данного треугольника (если это необходимо, промежуточные вычисления и ответ округли до тысячных).

Решение:

• 1. Находим угол ∠DCM: Так как CM — биссектриса угла C, то она делит его пополам. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, поэтому ∠D = ∠B. Сумма углов треугольника равна 180°.
• 2. Находим угол ∠MCB: Угол ∠CMB является внешним углом треугольника DMC. Внешний угол равен сумме двух других углов, не смежных с ним. Таким образом, ∠CMB = ∠D + ∠DCM.
• 3. Находим угол ∠D: Из предыдущего пункта имеем: 126° = ∠D + ∠DCM. Поскольку CM — биссектриса, то ∠DCM = ∠BCD / 2. А так как треугольник равнобедренный с основанием DC, то ∠D = ∠B.
• 4. Угол ∠B: В треугольнике CMB, ∠CMB = 126°. Значит, ∠MCB + ∠B + ∠CMB = 180°.
• 5. Угол ∠C: Угол ∠C = ∠DCM + ∠MCB.
• 6. Проверка: Сумма всех углов треугольника DBC должна быть равна 180°.

Вычисления:

• Пусть ∠D = ∠B = x.
• Так как CM — биссектриса, то ∠DCM = ∠MCB = y.
• В треугольнике CMB: ∠MCB + ∠B + ∠CMB = 180° => y + x + 126° = 180° => y + x = 54°
• Внешний угол треугольника DMC: ∠CMB = ∠D + ∠DCM => 126° = x + y.
• Получаем систему уравнений:
• y + x = 54°
• x + y = 126°
• Это противоречие. Пересмотрим условие. CM - биссектриса угла C треугольника DBC. Основание - DC. Значит, DB = BC. Углы при основании равны: ∠D = ∠BCD.
• В треугольнике CMB: ∠CMB = 126°. Угол ∠BMC смежен с углом ∠CMD, поэтому ∠CMD = 180° - 126° = 54°.
• В треугольнике CMD: ∠D + ∠DCM + ∠CMD = 180° => ∠D + ∠DCM + 54° = 180° => ∠D + ∠DCM = 126°.
• Так как треугольник DBC равнобедренный с основанием DC, то DB = BC. Углы при основании равны: ∠D = ∠BCD.
• CM - биссектриса угла C. Значит, ∠DCM = ∠MCB = ∠BCD / 2.
• Поскольку ∠D = ∠BCD, то ∠DCM = ∠D / 2.
• Подставляем в уравнение ∠D + ∠DCM = 126°:
• ∠D + ∠D / 2 = 126°
• 3/2 * ∠D = 126°
• ∠D = 126° * 2 / 3 = 84°
• Значит, ∠D = 84°.
• Так как треугольник равнобедренный, ∠BCD = ∠D = 84°.
• Угол C = ∠BCD = 84°.
• Проверим, является ли CM биссектрисой. ∠DCM = ∠BCD / 2 = 84° / 2 = 42°.
• Проверим треугольник CMD: ∠D + ∠DCM + ∠CMD = 84° + 42° + 54° = 180°. Верно.
• Найдем угол B. Сумма углов треугольника DBC: ∠D + ∠B + ∠BCD = 180° => 84° + ∠B + 84° = 180° => ∠B = 180° - 168° = 12°.
• Проверим треугольник CMB: ∠CMB = 126°. ∠B = 12°. ∠MCB = ∠BCD / 2 = 84° / 2 = 42°.
• Сумма углов треугольника CMB: ∠CMB + ∠B + ∠MCB = 126° + 12° + 42° = 180°. Верно.

Ответ:

• ∠D = 84°;
• ∠C = 84°;