3. В равнобедренном треугольнике АВС с основанием ВС угол А равен 120°. Высота треугольника, проведённая из вершины С, равна 18. Найдите длину стороны ВС.

3. Рассмотрим равнобедренный треугольник ABC с основанием BC, в котором угол A равен 120°. Высота треугольника, проведённая из вершины С, равна 18. Нужно найти длину стороны BC.

Обозначим высоту, проведенную из вершины C, как CH. Поскольку \(\bigtriangleup ABC\) равнобедренный, углы при основании равны. Значит, \(\angle B = \angle C\).

Сумма углов треугольника равна 180°:

$$A + B + C = 180^\circ$$

Выразим углы B и C:

$$B = C = \frac{180^\circ - A}{2} = \frac{180^\circ - 120^\circ}{2} = \frac{60^\circ}{2} = 30^\circ$$

Рассмотрим прямоугольный треугольник \(\bigtriangleup BCH\). В нем \(\angle B = 30^\circ\), \(CH = 18\). Нужно найти BC.

По определению синуса острого угла в прямоугольном треугольнике:

$$sin B = \frac{CH}{BC}$$

Выразим BC:

$$BC = \frac{CH}{sin B} = \frac{18}{sin 30^\circ} = \frac{18}{\frac{1}{2}} = 18 \cdot 2 = 36$$

Ответ: 36