В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АС высоты АМ, ВН и СЕ пересекаются в точке О. Какие утверждения верны?

Решение:

В равнобедренном треугольнике ABC с основанием AC, высоты AM, BH и CE пересекаются в точке O. Рассмотрим утверждения:

1. a. \( \Delta MBE \) — равнобедренный. Это утверждение не всегда верно. Для того чтобы \( \Delta MBE \) был равнобедренным, нужно, чтобы \( MB = EB \), что возможно только в случае, если \( \Delta ABC \) является равносторонним, что не является обязательным условием.

2. b. \( AM = CE \). В равнобедренном треугольнике высоты, проведенные к боковым сторонам, равны. Так как \( AB = BC \), то высоты \( AM \) и \( CE \) равны.

3. c. \( AM \) — серединный перпендикуляр к BC. Серединный перпендикуляр к стороне BC проходит через середину BC и перпендикулярен ей. Высота \( AM \) проведена к основанию AC, а не к боковой стороне BC. В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является также медианой и биссектрисой, но она не является серединным перпендикуляром к боковой стороне.

4. d. \( OH = OM \). В равнобедренном треугольнике точка пересечения высот (ортоцентр) \( O \) и точка пересечения медиан (центроид) могут быть разными. \( OM \) является частью высоты \( BH \), а \( OH \) — частью высоты \( AM \) или \( CE \). В общем случае \( OH \) не равно \( OM \).

5. e. \( BH \) — медиана треугольника. Высота \( BH \) проведена к основанию \( AC \). В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, одновременно является медианой и биссектрисой. Значит, \( BH \) делит основание \( AC \) пополам, что соответствует определению медианы.

Ответ: b, e