В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АС, сторона АВ = 8, а cos A = \(\frac{\sqrt{7}}{4}\). Найдите длину основания треугольника.

Решение:

В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АС, сторона АВ = 8, а \( \cos A = \frac{\sqrt{7}}{4} \).

По определению косинуса угла в прямоугольном треугольнике, \( \cos A = \frac{AC}{2AB} \) для равнобедренного треугольника, где \( AB \) - боковая сторона, \( AC \) - основание. Однако, в данном случае \( AB \) - это боковая сторона. Проведем высоту \( BH \) к основанию \( AC \). В прямоугольном треугольнике \( ABH \), \( \cos A = \frac{AH}{AB} \).

Отсюда \( AH = AB \cdot \cos A = 8 \cdot \frac{\sqrt{7}}{4} = 2\sqrt{7} \).

Так как \( BH \) является высотой равнобедренного треугольника, она также является и медианой, поэтому \( AC = 2 AH \).

\( AC = 2 \cdot 2\sqrt{7} = 4\sqrt{7} \).

Ответ: \( 4\sqrt{7} \).