В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АС и углом 120° продлили сторону АВ за вершину В на расстояние ВК, равное высоте ВН. Определить вид треугольника АКС.

Разбираемся:

1. В равнобедренном треугольнике ABC с углом ∠B = 120° найдем углы при основании: \[\angle A = \angle C = \frac{180° - 120°}{2} = 30°\]
2. Проведем высоту BH к стороне AC. В равнобедренном треугольнике высота является и медианой, и биссектрисой.
3. Рассмотрим прямоугольный треугольник ABH: \[\angle ABH = \frac{120°}{2} = 60°\] Тогда \[\angle BAH = 30°\]
4. По условию BK = BH. Рассмотрим треугольник BCK, где \[\angle CBK = 180° - 120° = 60°\]
5. В треугольнике ABH: \[BH = AB \cdot sin(\angle BAH) = AB \cdot sin(30°) = \frac{1}{2} AB\]
6. Так как BK = BH, то \[BK = \frac{1}{2} AB\]
7. Но \[AB = BC\] (как стороны равнобедренного треугольника), значит, \[BK = \frac{1}{2} BC\]
8. Рассмотрим треугольник AKC. \[\angle BAK = \angle BAC = 30°\] Чтобы найти угол \(\angle ACK\), рассмотрим треугольник BKC.
9. В треугольнике BKC: \[BK = BH\] (по условию), и \[\angle CBK = 60°\] Значит, треугольник BKC равнобедренный, и углы при основании BK равны.
10. Тогда углы при основании BK в треугольнике BKC равны: \[\angle BKC = \angle BCK = \frac{180° - 60°}{2} = 60°\] Следовательно, треугольник BKC равносторонний.
11. Теперь найдем угол ACK: \[\angle ACK = \angle ACB + \angle BCK = 30° + 60° = 90°\]
12. В треугольнике AKC углы равны: \[\angle KAC = 30°\] \[\angle ACK = 90°\] Тогда \[\angle AKC = 180° - (30° + 90°) = 60°\]
13. Таким образом, треугольник AKC имеет углы 30°, 90° и 60°. Следовательно, треугольник AKC прямоугольный.