В равнобедренном треугольнике AC=BC=13, высота СН к основанию АВ равна 12. Найдите cosA.

Решение:

В равнобедренном треугольнике ABC с основанием AB, AC = BC = 13. Высота CH = 12. Треугольник CHB является прямоугольным, так как CH — высота.

По теореме Пифагора найдём HB:

\( CH^2 + HB^2 = BC^2 \)

\[ 12^2 + HB^2 = 13^2 \]

\[ 144 + HB^2 = 169 \]

\[ HB^2 = 169 - 144 \]

\[ HB^2 = 25 \]

\[ HB = \sqrt{25} = 5 \]

Так как треугольник равнобедренный, высота CH делит основание AB пополам, следовательно, AB = 2 * HB = 2 * 5 = 10.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник CHB. Косинус угла B (который равен углу A, так как треугольник равнобедренный) находится как отношение прилежащего катета к гипотенузе:

\[ \cos B = \frac{HB}{BC} = \frac{5}{13} \]

Так как \( \cos A = \cos B \) в равнобедренном треугольнике, то \( \cos A = \frac{5}{13} \).

Ответ: \( \frac{5}{13} \).