В равнобедренном треугольнике ABC угол B равен 60°. Докажите, что все точки пересечения высот треугольника ABC и точки пересечения медиан треугольника ABC лежат на одной окружности.

В равнобедренном треугольнике основание не указано, поэтому рассмотрим оба возможных случая.

Если равны боковые стороны \(AB=BC\), то углы при основании равны: \(\angle A=\angle C\). Так как \(\angle B=60^\circ\), получаем \(\angle A=\angle C=60^\circ\). Следовательно, треугольник \(ABC\) равносторонний.

В равностороннем треугольнике высоты, медианы, биссектрисы и серединные перпендикуляры совпадают. Поэтому все три высоты пересекаются в одной точке, и все три медианы пересекаются в той же точке. Любая окружность с центром в этой точке проходит через все полученные точки, так что утверждение доказано.

Если равны стороны \(AC=BC\), то \(\angle A=\angle B=60^\circ\), значит, \(\angle C=60^\circ\), и треугольник также равносторонний. Рассуждение полностью аналогично.

Ответ: все точки пересечения высот и медиан совпадают в одной точке, поэтому лежат на одной окружности.