Контрольные задания > В равнобедренном треугольнике ABC с основанием AC проведена биссектриса AD, LADC = 126°. Найдите угол CBA. Ответ дайте в градусах.
Вопрос:

В равнобедренном треугольнике ABC с основанием AC проведена биссектриса AD, LADC = 126°. Найдите угол CBA. Ответ дайте в градусах.

Смотреть решения всех заданий с листа

Ответ:

Краткое пояснение:

Для решения задачи воспользуемся свойствами равнобедренного треугольника и биссектрисы, а также теоремой о сумме углов треугольника.

Пошаговое решение:

  1. Шаг 1: Найдем угол ACD. Так как AD — биссектриса, то угол ADC и угол ADB смежные. Сумма смежных углов равна 180°. Следовательно, \( \angle ADB = 180° - \angle ADC = 180° - 126° = 54° \).
  2. Шаг 2: В треугольнике ADB, угол ABD равен \( \angle ABD = 180° - \angle ADB - \angle BAD \).
  3. Шаг 3: В равнобедренном треугольнике ABC с основанием AC, углы при основании равны, то есть \( \angle BAC = \angle BCA \). Так как AD — биссектриса, то \( \angle BAD = \angle CAD \).
  4. Шаг 4: Рассмотрим треугольник ADC. Сумма углов в треугольнике равна 180°. \( \angle CAD + \angle ACD + \angle ADC = 180° \). Подставим известные значения: \( \angle CAD + \angle ACD + 126° = 180° \). Отсюда \( \angle CAD + \angle ACD = 180° - 126° = 54° \).
  5. Шаг 5: Так как \( \angle BAC = \angle BCA \), и \( \angle BAD = \angle CAD \), то \( \angle BAC = 2 \cdot \angle CAD \) и \( \angle BCA = \angle ACD \).
  6. Шаг 6: Из Шага 4: \( \angle CAD + \angle ACD = 54° \).
  7. Шаг 7: В треугольнике ABC, \( \angle ABC + \angle BAC + \angle BCA = 180° \). Подставим \( \angle BAC = 2 \cdot \angle CAD \) и \( \angle BCA = \angle ACD \): \( \angle ABC + 2 \cdot \angle CAD + \angle ACD = 180° \).
  8. Шаг 8: Подставим \( \angle ACD = 54° - \angle CAD \) из Шага 4 в уравнение из Шага 7: \( \angle ABC + 2 \cdot \angle CAD + (54° - \angle CAD) = 180° \). Упростим: \( \angle ABC + \angle CAD + 54° = 180° \). Отсюда \( \angle ABC + \angle CAD = 180° - 54° = 126° \).
  9. Шаг 9: Теперь вернемся к Шагу 2: \( \angle ABD = 180° - \angle ADB - \angle BAD \). Мы знаем, что \( \angle ADB = 54° \) (из Шага 1), и \( \angle BAD = \angle CAD \). Следовательно, \( \angle ABD = 180° - 54° - \angle CAD = 126° - \angle CAD \).
  10. Шаг 10: Мы ищем угол CBA, который равен углу ABD, так как B и D лежат на одной прямой AC. То есть \( \angle CBA = \angle ABD \).
  11. Шаг 11: Мы получили два уравнения: \( \angle ABC + \angle CAD = 126° \) (из Шага 8) и \( \angle ABC = 126° - \angle CAD \) (из Шага 9). Эти уравнения эквивалентны.
  12. Шаг 12: Давайте пересмотрим Шаг 4. В треугольнике ADC, \( \angle ACD + \angle CAD = 54° \).
  13. Шаг 13: Учитывая, что \( \angle ABC = \angle BAC \) (поскольку треугольник ABC равнобедренный с основанием AC, но это неверно, основанием является AC, поэтому \( \angle BAC = \angle BCA \)).
  14. Шаг 14: В равнобедренном треугольнике ABC с основанием AC, \( \angle BAC = \angle BCA \). AD — биссектриса угла A.
  15. Шаг 15: Рассмотрим треугольник ADC. \( \angle ADC = 126° \). \( \angle ACD + \angle CAD = 180° - 126° = 54° \).
  16. Шаг 16: Пусть \( \angle CAD = x \). Тогда \( \angle BAC = 2x \).
  17. Шаг 17: В треугольнике ABC, \( \angle BCA = \angle BAC = 2x \).
  18. Шаг 18: Из Шага 15: \( \angle ACD = 54° - \angle CAD = 54° - x \).
  19. Шаг 19: Но \( \angle BCA = \angle ACD \) (так как D лежит на BC, что неверно, D лежит на AC).
  20. Шаг 20: Переформулируем: \( \angle BCA = \angle ACD \) — это неверно. \( \angle BCA = \angle BAC \).
  21. Шаг 21: У нас есть \( \angle BAC = \angle BCA \). Пусть \( \angle BAC = \angle BCA = \alpha \).
  22. Шаг 22: AD — биссектриса, значит \( \angle BAD = \angle CAD = \alpha / 2 \).
  23. Шаг 23: В треугольнике ADC: \( \angle ADC = 126° \). \( \angle CAD = \alpha / 2 \). \( \angle ACD = \angle BCA = \alpha \).
  24. Шаг 24: Сумма углов в треугольнике ADC: \( \angle CAD + \angle ACD + \angle ADC = 180° \). \( \alpha / 2 + \alpha + 126° = 180° \).
  25. Шаг 25: \( 3\alpha / 2 = 180° - 126° = 54° \).
  26. Шаг 26: \( \alpha = 54° \times 2 / 3 = 36° \).
  27. Шаг 27: Таким образом, \( \angle BAC = \angle BCA = 36° \).
  28. Шаг 28: Теперь найдем угол CBA. В треугольнике ABC: \( \angle CBA + \angle BAC + \angle BCA = 180° \). \( \angle CBA + 36° + 36° = 180° \).
  29. Шаг 29: \( \angle CBA + 72° = 180° \). \( \angle CBA = 180° - 72° = 108° \).
  30. Шаг 30: Проверим с \( \angle ADB \). \( \angle ADB = 180° - 126° = 54° \).
  31. Шаг 31: В треугольнике ABD: \( \angle BAD = \alpha / 2 = 36° / 2 = 18° \). \( \angle ABD = \angle CBA = 108° \).
  32. Шаг 32: Сумма углов в треугольнике ABD: \( \angle BAD + \angle ABD + \angle ADB = 18° + 108° + 54° = 180° \). Это верно.
  33. Шаг 33: Похоже, что в условии задачи ошибка, так как угол 126° является тупым, и точка D лежит на стороне AC. Это означает, что AD не может быть биссектрисой, если угол ADC = 126°. Если D лежит на продолжении AC, тогда это возможно. Однако, по рисунку, D лежит на AC.
  34. Шаг 34: Предположим, что D лежит на стороне BC, а не AC. Но по условию AD - биссектриса треугольника ABC с основанием AC. То есть D - точка на стороне AC.
  35. Шаг 35: Перечитаем условие: «В равнобедренном треугольнике ABC с основанием AC проведена биссектриса AD». D лежит на BC. Нет, D лежит на AC.
  36. Шаг 36: Есть вероятность, что угол ADC = 126° является внешним углом треугольника ABD. Но это не указано.
  37. Шаг 37: Давайте предположим, что в условии была опечатка и \( \angle ADB = 126° \) (а не ADC). Тогда \( \angle ADC = 180° - 126° = 54° \).
  38. Шаг 38: Если \( \angle ADC = 54° \) и AD - биссектриса. В треугольнике ADC: \( \angle CAD + \angle ACD + 54° = 180° \) \( \implies \angle CAD + \angle ACD = 126° \).
  39. Шаг 39: Пусть \( \angle BAC = \angle BCA = \alpha \). Тогда \( \angle CAD = \alpha / 2 \). \( \angle ACD = \alpha \).
  40. Шаг 40: \( \alpha / 2 + \alpha = 126° \). \( 3\alpha / 2 = 126° \). \( \alpha = 126° \times 2 / 3 = 84° \).
  41. Шаг 41: \( \angle BAC = \angle BCA = 84° \).
  42. Шаг 42: \( \angle CBA = 180° - (84° + 84°) = 180° - 168° = 12° \).
  43. Шаг 43: Проверим с \( \angle ADB \). \( \angle ADB = 126° \). \( \angle BAD = \alpha / 2 = 84° / 2 = 42° \).
  44. Шаг 44: Сумма углов в треугольнике ABD: \( 42° + 12° + 126° = 180° \). Это верно.
  45. Шаг 45: Значит, если \( \angle ADB = 126° \), то \( \angle CBA = 12° \).
  46. Шаг 46: Вернемся к исходному условию \( \angle ADC = 126° \).
  47. Шаг 47: В треугольнике ABC, \( \angle BAC = \angle BCA = \alpha \). AD — биссектриса, \( \angle BAD = \angle CAD = \alpha / 2 \).
  48. Шаг 48: В треугольнике ADC: \( \angle ACD = \alpha \), \( \angle CAD = \alpha / 2 \), \( \angle ADC = 126° \).
  49. Шаг 49: \( \alpha/2 + \alpha + 126° = 180° \). \( 3\alpha/2 = 54° \). \( \alpha = 36° \).
  50. Шаг 50: \( \angle BAC = \angle BCA = 36° \).
  51. Шаг 51: \( \angle CBA = 180° - (36° + 36°) = 180° - 72° = 108° \).
  52. Шаг 52: Проверим, где ошибка. AD — биссектриса угла A. D лежит на AC.
  53. Шаг 53: Угол ADC = 126° означает, что угол ADB = 180° - 126° = 54°.
  54. Шаг 54: В треугольнике ABD: \( \angle ABD + \angle BAD + \angle ADB = 180° \). \( \angle ABD + \angle BAD + 54° = 180° \). \( \angle ABD + \angle BAD = 126° \).
  55. Шаг 55: В равнобедренном треугольнике ABC (основание AC), \( \angle BAC = \angle BCA \). Пусть \( \angle BAC = \angle BCA = x \).
  56. Шаг 56: AD — биссектриса угла A, значит \( \angle BAD = \angle CAD = x/2 \).
  57. Шаг 57: В треугольнике ABC: \( \angle ABC + \angle BAC + \angle BCA = 180° \). \( \angle ABC + x + x = 180° \). \( \angle ABC = 180° - 2x \).
  58. Шаг 58: Из Шага 54: \( \angle ABD = 126° - \angle BAD = 126° - x/2 \).
  59. Шаг 59: Так как \( \angle ABD = \angle ABC \), то \( 180° - 2x = 126° - x/2 \).
  60. Шаг 60: \( 180° - 126° = 2x - x/2 \). \( 54° = 3x/2 \). \( x = 54° \times 2 / 3 = 36° \).
  61. Шаг 61: Значит, \( \angle BAC = \angle BCA = 36° \).
  62. Шаг 62: \( \angle CBA = 180° - 2 \times 36° = 180° - 72° = 108° \).
  63. Шаг 63: Проверим с \( \angle ADB \). \( \angle ADB = 54° \). \( \angle BAD = x/2 = 36°/2 = 18° \).
  64. Шаг 64: \( \angle ABD = 126° - \angle BAD = 126° - 18° = 108° \).
  65. Шаг 65: Угол CBA = 108°.
  66. Шаг 66: В треугольнике ADC: \( \angle CAD = 18° \), \( \angle ACD = 36° \), \( \angle ADC = 180° - (18°+36°) = 180° - 54° = 126° \). Это соответствует условию.

Ответ: 108

ГДЗ по фото 📸
Подать жалобу Правообладателю