В равнобедренном треугольнике ABC с основанием AC на продолжении высоты BM выбрана точка D. Докажите, что треугольник ADC - равнобедренный.

Дано: Треугольник ABC – равнобедренный, AC – основание, BM – высота, точка D лежит на продолжении BM.

Доказать: Треугольник ADC – равнобедренный.

Доказательство:

1. Так как треугольник ABC равнобедренный с основанием AC, то AB = BC. Высота BM является также и медианой, и биссектрисой (свойство равнобедренного треугольника).

2. Следовательно, AM = MC, и угол ABM равен углу CBM.

3. Поскольку точка D лежит на продолжении высоты BM, то углы AMD и CMD – прямые (90 градусов), т.е. $$ \angle AMD = \angle CMD = 90^{\circ} $$.

4. Рассмотрим треугольники AMD и CMD. У них:

• AM = MC (из пункта 2);
• DM – общая сторона;
• $$\angle AMD = \angle CMD = 90^{\circ}$$

5. Следовательно, треугольники AMD и CMD равны по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).

6. Из равенства треугольников AMD и CMD следует, что AD = CD.

7. Так как AD = CD, то треугольник ADC – равнобедренный.

Что и требовалось доказать.