В равнобедренном треугольнике ABC (AB=BC) отмечены точки М и № на сторонах ВС и АС соответственно так, что NB=МВ. Угол ABN=30°. Найдите угол MNC.

Ответ: 75°

1. Угол ABC равен:

   \[\angle ABC = 180^\circ - 2 \cdot \angle BAC\]

2. Угол ABN равен 30°, тогда угол NBC равен:

   \[\angle NBC = \frac{180^\circ - 2 \cdot \angle BAC}{2}\]

3. Рассмотрим треугольник ABN. В нем известны две стороны (NB=МВ) и угол между ними (30°). Обозначим угол BAN как x:

   \[\angle BAN = x\]

4. Тогда угол BNA равен:

   \[\angle BNA = 180^\circ - 30^\circ - x = 150^\circ - x\]

5. Так как NB = MB, то углы BNA и BMA равны. Значит, угол BMA тоже равен 150°- x.

6. В треугольнике ABC:

   \[\angle BAC = \angle BCA = x\]

7. Сумма углов треугольника ABC равна 180°:

   \[x + x + 30^\circ + 30^\circ = 180^\circ\]

8. Решаем уравнение:

   \[2x + 60^\circ = 180^\circ\] \[2x = 120^\circ\] \[x = 60^\circ\]

9. Получается, что угол BAC равен 60°.

10. Теперь найдем угол MNC. Угол MNC является внешним углом треугольника BMN, поэтому он равен сумме двух других углов, не смежных с ним:

    \[\angle MNC = \angle NBC + \angle BCN = 30^\circ + \frac{180^\circ - 60^\circ}{2} = 30^\circ + 60^\circ = 75^\circ\]

Ответ: 75°