В равнобедренном треугольнике ABC AB = BC = 10, BM = √51, AM = MC. Найти cos ∠BAC и AC.

Так как треугольник ABC равнобедренный, а M — середина основания AC, медиана BM является также высотой. Поэтому треугольник ABM прямоугольный.

1. По теореме Пифагора найдём AM:

   \[AM^2=AB^2-BM^2=10^2-(\sqrt{51})^2=100-51=49.\]

   \[AM=7.\]

2. Так как AM = MC, то:

   \[AC=AM+MC=2AM=2\cdot7=14.\]

3. В прямоугольном треугольнике ABM:

   \[\cos\angle BAC=\frac{AM}{AB}=\frac{7}{10}.\]

Ответ: \(\cos\angle BAC=\frac{7}{10}\); \(AC=14\).