9. В равнобедренном треугольнике ABC (AB = BC) провели высоту BD. Найдите её длину, если периметр треугольника ABC равен 50 см, а периметр треугольника ABD — 40 см.

Так как BD - высота в равнобедренном треугольнике ABC, проведенная к основанию AC, она также является медианой. Следовательно, AD = DC, и AC = 2AD. Периметр треугольника ABC: \(P_{ABC} = AB + BC + AC = 50\) см. Периметр треугольника ABD: \(P_{ABD} = AB + AD + BD = 40\) см. Так как AB = BC (треугольник ABC равнобедренный), то \(2AB + AC = 50\). Выразим AC: \(AC = 50 - 2AB\). Подставим AC = 2AD: \(2AD = 50 - 2AB\), значит \(AD = 25 - AB\). Теперь подставим AD в уравнение для периметра треугольника ABD: \(AB + (25 - AB) + BD = 40\) \(25 + BD = 40\) \(BD = 40 - 25\) \(BD = 15\) см. Ответ: Высота BD равна 15 см.