В прямоугольный треугольник вписана окружность радиуса 2 см. Точка касания делит гипотенузу на два отрезка длиной 5 см и 3 см. Найдите периметр треугольника. Ответ дайте в сантиметрах.

Пусть дан прямоугольный треугольник ABC, где угол C = 90 градусов. Окружность радиуса r = 2 вписана в этот треугольник. Точка касания окружности делит гипотенузу AB на отрезки длиной 5 см и 3 см. Обозначим точку касания окружности с гипотенузой через D, так что AD = 5 и BD = 3. Тогда гипотенуза AB = AD + BD = 5 + 3 = 8 см. Обозначим точки касания окружности с катетами AC и BC через E и F соответственно. Тогда CE = CF = r = 2 см. Пусть AE = x и BF = y. Так как отрезки касательных, проведенных из одной точки к окружности, равны, то AE = AD = 5 и BF = BD = 3. Значит, x = 5 и y = 3. Тогда катеты AC и BC равны: AC = AE + EC = 5 + 2 = 7 см BC = BF + FC = 3 + 2 = 5 см Периметр треугольника ABC равен: P = AB + AC + BC = 8 + 7 + 5 = 20 см Ответ: 20