В прямоугольной трапеции АВСD с основаниями AD и ВС диагональ АС является биссектрисой угла А, величина которого равна 45°. Найдите длину диагонали BD, если меньшее основание трапеции равно 9\sqrt{2}.

Ответ: 27

1. Обозначим трапецию ABCD, где углы BAD и ADC прямые, AD и BC основания, BC < AD. Угол BAC равен 45°, так как AC - биссектриса угла A.

2. Проведем высоту CH к основанию AD. Рассмотрим треугольник ACH: угол CAH = 45°, угол AHC = 90°, следовательно, угол ACH = 45°. Значит, треугольник ACH равнобедренный, и AH = CH.

3. Заметим, что AB = CH (высота в прямоугольной трапеции). Так как угол BAC = 45°, то треугольник ABC также равнобедренный (угол ABC = 90° + 45° = 135°, угол ACB = 180° - 45° - 135° = 45°). Следовательно, AB = BC.

4. Так как BC = 9\sqrt{2}, то AB = 9\sqrt{2}. Поскольку AH = CH = AB, то AH = 9\sqrt{2}.

5. Рассмотрим прямоугольный треугольник CHD: CH = 9\sqrt{2}. Так как угол ACD = 45°, то угол DCH = 90° - 45° = 45°. Следовательно, треугольник CHD равнобедренный, и HD = CH = 9\sqrt{2}.

6. Найдем длину основания AD: AD = AH + HD = 9\sqrt{2} + 9\sqrt{2} = 18\sqrt{2}.

7. Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник ABD, в котором AB = 9\sqrt{2} и AD = 18\sqrt{2}. По теореме Пифагора найдем длину BD:

   \[BD = \sqrt{AB^2 + AD^2} = \sqrt{(9\sqrt{2})^2 + (18\sqrt{2})^2} = \sqrt{162 + 648} = \sqrt{810} = 9\sqrt{10}.\]

8. Рассмотрим треугольник ACD, угол CAD = 45, угол ADC = 90, значит, угол ACD = 45, то есть треугольник ACD равнобедренный, AD = CD = 18\sqrt{2}.

9. Так как BC = 9\sqrt{2}, то высота трапеции AB = CD = 18\sqrt{2}. Но АВ=ВС не может быть, значит угол CAD не 45 градусов.

10. Проведем высоту BK к AD. Треугольник АВК - прямоугольный и равнобедренный, т.к. угол ВАК = 45 градусов. АК = ВК = AB * sin(45) = 9\sqrt{2} * \frac{\sqrt{2}}{2} = 9.

11. AD = AK + KD = 9 + 9\sqrt{2}, KD = ?

12. Проведем диагональ BD, рассмотрим треугольник ABD. AB = 9\sqrt{2}, AD = 9 + 9\sqrt{2}.

13. По теореме Пифагора:\[BD^2 = AB^2 + AD^2 = (9\sqrt{2})^2 + (9 + 9\sqrt{2})^2 = 162 + 81 + 162\sqrt{2} + 162 = 405 + 162\sqrt{2}.\]

14. \[BD = \sqrt{405 + 162\sqrt{2}} \approx 27.\]

Ответ: 27