2. В прямоугольной трапеции ABCD с основаниями AD и BC диагональ АС является биссектрисой угла А, равного 45°. Найдите длину диагонали BD, если меньшее основание трапеции равно 7√2.

В прямоугольной трапеции ABCD с основаниями AD и BC, ∠A = 45°, AC - биссектриса угла A, BC = 7√2. Нужно найти BD.

1. Т.к. AC - биссектриса ∠A, то ∠BAC = ∠CAD = 45° / 2 = 22.5°.

2. ∠BCA = 90° - ∠BAC = 90° - 22.5° = 67.5°.

3. Т.к. ABCD - прямоугольная трапеция, то ∠D = 90°. ∠ACD = 90° - ∠CAD = 90° - 22.5° = 67.5°.

4. Следовательно, треугольник ACD - равнобедренный (∠ACD = ∠CAD), AD = CD.

5. Проведем высоту BH к AD. Тогда ABHD - прямоугольник, AD = BC = 7√2.

6. В прямоугольном треугольнике AHD, ∠A = 45°, значит, AHD - равнобедренный, AH = HD. AH = AD / √2 = (7√2) / √2 = 7.

7. Тогда AD = AH + HD = 7 + 7 = 14.

8. CD = AD = 14.

9. В прямоугольном треугольнике BCD, BD = √(BC² + CD²) = √((7√2)² + 14²) = √(98 + 196) = √294 = 7√6.

Ответ: 7√3