В прямоугольной системе координат даны векторы: 2(7; 1) и (-1; 7). Найдите угол между векторами а и в и проекцию вектора а на ось, сонаправленную с вектором 6: cos(ন, চ)

Решение:

Давай разберем по порядку.

1. Сначала найдем проекцию вектора \[\vec{a}\] на вектор \[\vec{b}\]:

\[\vec{a} = (7, 1)\]

\[\vec{b} = (-1, 7)\]

Проекция вектора \[\[\vec{a}\]\] на вектор \[\[\vec{b}\]\] вычисляется по формуле:

\[ \text{пр}_{\vec{b}} \vec{a} = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{b}|} \]

Найдем скалярное произведение векторов \[\[\vec{a}\]\] и \[\[\vec{b}\]\]:

\[ \vec{a} \cdot \vec{b} = (7 \cdot -1) + (1 \cdot 7) = -7 + 7 = 0 \]

Тогда проекция вектора \[\[\vec{a}\]\] на вектор \[\[\vec{b}\]\] равна:

\[ \text{пр}_{\vec{b}} \vec{a} = \frac{0}{|\vec{b}|} = 0 \]

2. Теперь найдем косинус угла между векторами \[\[\vec{a}\]\] и \[\[\vec{b}\]\]:

\[ \cos(\vec{a}, \vec{b}) = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|} \]

Мы уже знаем, что \[\[\vec{a} \cdot \vec{b} = 0\]\]

Найдем модули векторов \[\[\vec{a}\]\] и \[\[\vec{b}\]\]:

\[ |\vec{a}| = \sqrt{7^2 + 1^2} = \sqrt{49 + 1} = \sqrt{50} \]

\[ |\vec{b}| = \sqrt{(-1)^2 + 7^2} = \sqrt{1 + 49} = \sqrt{50} \]

Тогда косинус угла равен:

\[ \cos(\vec{a}, \vec{b}) = \frac{0}{\sqrt{50} \cdot \sqrt{50}} = \frac{0}{50} = 0 \]

Следовательно, угол между векторами равен 90 градусам.

Ответ: \[\text{пр}_{\vec{b}} \vec{a} = 0 \], \[\[\cos(\vec{a}, \vec{b}) = 0\]\]