В прямоугольной системе координат даны векторы: \(\overrightarrow{a}(7; 1)\) и \(\overrightarrow{b}(-1; 7)\). Найдите угол между векторами \(\overrightarrow{a}\) и \(\overrightarrow{b}\) и проекцию вектора \(\overrightarrow{a}\) на ось, сонаправленную с вектором \(\overrightarrow{b}\):

Решение:

Сначала найдем проекцию вектора \(\overrightarrow{a}\) на ось, сонаправленную с вектором \(\overrightarrow{b}\). Проекция вектора \(\overrightarrow{a}\) на вектор \(\overrightarrow{b}\) вычисляется по формуле:

\[\text{proj}_{\overrightarrow{b}} \overrightarrow{a} = \frac{\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{b}|}\]

Найдем скалярное произведение векторов \(\overrightarrow{a}\) и \(\overrightarrow{b}\):

\[\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = (7 \cdot -1) + (1 \cdot 7) = -7 + 7 = 0\]

Следовательно,

\[\text{proj}_{\overrightarrow{b}} \overrightarrow{a} = 0\]

Теперь найдем угол между векторами \(\overrightarrow{a}\) и \(\overrightarrow{b}\). Угол между векторами вычисляется по формуле:

\[\cos(\alpha) = \frac{\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}| |\overrightarrow{b}|}\]

Мы уже знаем, что \(\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = 0\). Следовательно,

\[\cos(\alpha) = \frac{0}{|\overrightarrow{a}| |\overrightarrow{b}|} = 0\]

Значит, \(\alpha = 90^\circ\).

Ответ: Проекция вектора \(\overrightarrow{a}\) на вектор \(\overrightarrow{b}\) равна 0, а угол между векторами \(\overrightarrow{a}\) и \(\overrightarrow{b}\) равен 90°.