В прямоугольном треугольнике MNK с прямым углом при K проведена высота KP к гипотенузе MN. Дано: MN = 36, MP = 12. Найти NP и KP.

Так как высота к гипотенузе в прямоугольном треугольнике образует подобные треугольники, справедливы соотношения:

\[MN=MP+NP.\]

Отсюда:

\[NP=MN-MP=36-12=24.\]

Для высоты используем свойство: \(KP^2=MP\cdot NP\).

\[KP^2=12\cdot24=288,\qquad KP=\sqrt{288}=12\sqrt2.\]

Ответ: \(NP=24\), \(KP=12\sqrt2\).