В прямоугольном треугольнике KMP угол K равен 90°, угол P равен 30°. Точка N лежит на KP, KN = 5 см, угол KNM равен 60°. Найдите NP.

Рассмотрим треугольник KMN. Он прямоугольный, так как KM перпендикулярна KP. Угол N равен 60°, поэтому угол M равен 30°.

В треугольнике KMN сторона KN = 5 см лежит напротив угла 30°, значит:

\[KM = 5\sqrt{3}\text{ см}.\]

Рассмотрим большой треугольник KMP. В нём угол P равен 30°, а KM — противолежащая сторона. Поэтому гипотенуза:

\[KP = 2KM = 10\sqrt{3}\text{ см}.\]

Однако по рисунку для угла 30° сторона KM является коротким катетом, а основание KP — длинным катетом:

\[KP = KM\sqrt{3}=5\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}=15\text{ см}.\]

Так как \(KP=KN+NP\), получаем:

\[NP=KP-KN=15-5=10\text{ см}.\]

Ответ: 10 см.