В прямоугольном треугольнике гипотенуза больше катетов соответственно на 2 дм и 9 дм. Найди площадь этого треугольника.

Пусть (a) и (b) - катеты прямоугольного треугольника, а (c) - гипотенуза. По условию задачи, гипотенуза больше катетов на 2 дм и 9 дм соответственно. Тогда можем записать:

(c = a + 2)

(c = b + 9)

Также мы знаем теорему Пифагора:

(a^2 + b^2 = c^2)

Выразим (a) и (b) через (c):

(a = c - 2)

(b = c - 9)

Подставим эти выражения в теорему Пифагора:

((c - 2)^2 + (c - 9)^2 = c^2)

Раскроем скобки:

(c^2 - 4c + 4 + c^2 - 18c + 81 = c^2)

Приведем подобные слагаемые:

(2c^2 - 22c + 85 = c^2)

Перенесем все в левую часть:

(c^2 - 22c + 85 = 0)

Решим квадратное уравнение. Найдем дискриминант:

(D = (-22)^2 - 4 cdot 1 cdot 85 = 484 - 340 = 144)

Найдем корни:

(c_1 = rac{22 + sqrt{144}}{2} = rac{22 + 12}{2} = rac{34}{2} = 17)

(c_2 = rac{22 - sqrt{144}}{2} = rac{22 - 12}{2} = rac{10}{2} = 5)

Если (c = 5), то (b = c - 9 = 5 - 9 = -4), что невозможно, так как длина не может быть отрицательной. Значит, (c = 17).

Теперь найдем (a) и (b):

(a = c - 2 = 17 - 2 = 15)

(b = c - 9 = 17 - 9 = 8)

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов:

(S = rac{1}{2} cdot a cdot b = rac{1}{2} cdot 15 cdot 8 = rac{1}{2} cdot 120 = 60) дм²

Ответ: 60 дм²