3. В прямоугольном треугольнике биссектриса наибольшего угла образует с гипотенузой углы, один из которых в 2 раза больше другого. Найдите острые углы данного треугольника.

В прямоугольном треугольнике наибольший угол - это прямой угол (90°). Биссектриса этого угла делит его на два угла по 45°. Пусть один из углов, образованных биссектрисой с гипотенузой, равен $$x$$, а другой равен $$2x$$. Так как сумма углов треугольника равна 180°, рассмотрим треугольник, образованный биссектрисой, гипотенузой и катетом. Сумма углов этого треугольника: $$45° + x + 2x = 180°$$, где $$x$$ и $$2x$$ - углы, образованные биссектрисой и гипотенузой. Но нам это не нужно. У нас есть два варианта расположения углов $$x$$ и $$2x$$: 1) Пусть угол между биссектрисой и гипотенузой равен $$x$$, тогда второй угол равен $$2x$$. Рассмотрим треугольник, образованный гипотенузой, катетом и биссектрисой. Сумма углов в этом треугольнике равна 180 градусам. Пусть один из острых углов прямоугольного треугольника равен $$\alpha$$. Тогда $$45 + x + \alpha = 180$$, где $$x$$ и $$2x$$ углы между биссектрисой и гипотенузой. $$2x + x = 90$$, так как углы x и 2x смежные. $$3x = 90$$ град, x = 30 град. Тогда 2x = 60 град. \alpha = 30 град, второй угол 60 град. Ответ: 30° и 60°