Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
МатематикаВопрос:
В прямоугольном треугольнике АВС ВС гипотенуза, ∠C= 30°. Hа АС лежит точка Д так, что ∠АВД = 30°. ДС = 6. Найдите АД.
Ответ:
Разбираемся:
Краткое пояснение: Задача на применение тригонометрических функций в прямоугольном треугольнике. Поскольку нам дана информация о углах и сторонах, будем использовать синус и тангенс.
Пошаговое решение:
- Шаг 1: Определим углы в треугольнике АВС. Нам дано, что \( \angle C = 30° \). Так как треугольник прямоугольный (\( \angle B = 90° \)), то \( \angle BAC = 180° - 90° - 30° = 60° \).
- Шаг 2: Рассмотрим треугольник ABD. Нам дано, что \( \angle ABD = 30° \). Так как \( \angle BAC = 60° \), то \( \angle ADB = 180° - 30° - 60° = 90° \). Это означает, что BD является высотой треугольника ABC.
- Шаг 3: В прямоугольном треугольнике BDC, \( \angle C = 30° \) и \( \angle DBC = 90° - 30° = 60° \). Нам дано \( DC = 6 \).
- Шаг 4: Найдем сторону BC. В прямоугольном треугольнике BDC: \( an(30°) = rac{BD}{DC} \) и \( an(60°) = rac{BC}{BD} \). Также \( an(30°) = rac{BD}{6} \), откуда \( BD = 6 an(30°) = 6 rac{1}{\sqrt{3}} = rac{6}{\sqrt{3}} = 2√3 \).
- Шаг 5: Теперь найдем сторону AC. В прямоугольном треугольнике ABC: \( an(30°) = rac{AB}{BC} \) и \( an(60°) = rac{BC}{AC} \). Так как \( an(60°) = rac{BC}{AC} \), то \( AC = rac{BC}{ an(60°)} \).
- Шаг 6: Мы знаем, что \( BC = BD an(60°) \) (из треугольника BDC) или \( BC = AB an(30°) \) (из треугольника ABC). В прямоугольном треугольнике BDC: \( an(30°) = rac{BD}{DC} \) => \( BD = DC an(30°) = 6 imes rac{1}{\sqrt{3}} = rac{6}{\sqrt{3}} \).
- Шаг 7: В прямоугольном треугольнике ABC: \( an(30°) = rac{AB}{BC} \) и \( an(60°) = rac{BC}{AC} \).
- Шаг 8: Рассмотрим треугольник ABD. \( an(30°) = rac{AD}{BD} \). Отсюда \( AD = BD an(30°) \).
- Шаг 9: Подставим значение BD, найденное на Шаге 6: \( AD = rac{6}{\sqrt{3}} imes rac{1}{\sqrt{3}} = rac{6}{3} = 2 \).
Ответ: 2
