В прямоугольном треугольнике АВС угол В прямой. На гипотенузе АС отмечены точки М и Н так, что AM:MH:HC = 1:2:1. Через точки М и Н проведены прямые, параллельные АВ и пересекающие сторону ВС в точках Т и К соответственно. Найдите отношение площадей четырёхугольника АВТМ и НКС.

Решение:

Обозначим \( AC = 4x \).

По условию \( AM:MH:HC = 1:2:1 \), следовательно:

• \( AM = \frac{1}{4} AC = \frac{1}{4} (4x) = x \)
• \( MH = \frac{2}{4} AC = \frac{2}{4} (4x) = 2x \)
• \( HC = \frac{1}{4} AC = \frac{1}{4} (4x) = x \)

Так как \( MT \parallel AB \) и \( NK \parallel AB \), то \( MT \parallel NK \parallel AB \). Также \( TN \parallel BC \) и \( KC \parallel BC \) (прямые лежат на одной прямой).

Из подобия треугольников \( △ MTC △ ABC \) и \( △ NKC △ ABC \) следует, что:

• \( \frac{MC}{AC} = \frac{MT}{AB} = \frac{TC}{BC} \)
• \( \frac{NC}{AC} = \frac{NK}{AB} = \frac{KC}{BC} \)

Поскольку \( MC = MH + HC = 2x + x = 3x \) и \( NC = HC = x \).

\( \frac{MT}{AB} = \frac{3x}{4x} = \frac{3}{4} \rightarrow MT = \frac{3}{4} AB \)

\( \frac{TC}{BC} = \frac{3}{4} \rightarrow TC = \frac{3}{4} BC \) и \( TK = TC - KC = \frac{3}{4} BC - \frac{1}{4} BC = \frac{2}{4} BC = \frac{1}{2} BC \) (так как \( NK — средняя линия — — \) следует из \( \frac{NC}{AC} = \frac{x}{4x} = \frac{1}{4} \rightarrow NK = \frac{1}{4} AB \) и \( \frac{KC}{BC} = \frac{1}{4} \rightarrow KC = \frac{1}{4} BC \)).

Площадь \( △ ABC = \frac{1}{2} AB \times BC \).

Площадь четырёхугольника \( ABTM = S_{ABC} - S_{MTC} \).

\( S_{MTC} = \frac{1}{2} MT \times TC = \frac{1}{2} (\frac{3}{4} AB) \times (\frac{3}{4} BC) = \frac{9}{16} (\frac{1}{2} AB \times BC) = \frac{9}{16} S_{ABC} \).

\( S_{ABTM} = S_{ABC} - \frac{9}{16} S_{ABC} = \frac{7}{16} S_{ABC} \).

Теперь найдём площадь \( △ NKC \).

\( S_{NKC} = \frac{1}{2} NK \times KC = \frac{1}{2} (\frac{1}{4} AB) \times (\frac{1}{4} BC) = \frac{1}{16} (\frac{1}{2} AB \times BC) = \frac{1}{16} S_{ABC} \).

Отношение площадей четырёхугольника \( ABTM \) и \( △ NKC \):

\[ \frac{S_{ABTM}}{S_{NKC}} = \frac{\frac{7}{16} S_{ABC}}{\frac{1}{16} S_{ABC}} = \frac{7}{1} = 7 \]

Ответ: 7.