В прямоугольном треугольнике АВС угол С – прямой. Вписанная окружность треугольника АВС касается стороны АС в точке D. Известно, что BC = 7, а радиус вписанной окружности равен r = 2. Найдите длину хорды, соединяющей точки пересечения окружности с прямой BD.

Решение:

Обозначим центр вписанной окружности как точку O, а точку касания окружности со стороной BC как E. Пусть координаты точки C будут (0, 0), тогда B будет иметь координаты (0, 7), так как BC = 7.

Т.к. радиус вписанной окружности равен 2, то координаты точки O будут (2, 2).

Тангенс угла B можно найти из соотношения сторон прямоугольного треугольника. Т.к. окружность вписана, то CD = CE как отрезки касательных, проведенных из одной точки. CE = r = 2, следовательно, CD = 2.

Тогда AD = AC - CD. Т.к. tg B = AC/BC, то AC = BC ⋅ tg B. Выразим tg B через известные величины.

Рассмотрим прямоугольный треугольник BOE. BE = BC - CE = 7 - 2 = 5. Тогда tg (B/2) = OE/BE = 2/5.

Используем формулу тангенса двойного угла: \[tg B = \frac{2tg(B/2)}{1 - tg^2(B/2)} = \frac{2 \cdot (2/5)}{1 - (2/5)^2} = \frac{4/5}{1 - 4/25} = \frac{4/5}{21/25} = \frac{4}{5} \cdot \frac{25}{21} = \frac{20}{21}.\]

Тогда AC = BC ⋅ tg B = 7 ⋅ (20/21) = 20/3. Следовательно, AD = AC - CD = 20/3 - 2 = (20 - 6)/3 = 14/3.

Координаты точки D: D(14/3, 0).

Теперь найдем уравнение прямой BD. Общий вид уравнения прямой: y = kx + b.

Прямая BD проходит через точки B(0, 7) и D(14/3, 0). Подставим координаты этих точек в уравнение прямой:

Для B(0, 7): 7 = k ⋅ 0 + b => b = 7.

Для D(14/3, 0): 0 = k ⋅ (14/3) + 7 => k = -7 / (14/3) = -7 ⋅ (3/14) = -3/2.

Уравнение прямой BD: y = -3/2 x + 7.

Уравнение окружности с центром в точке O(2, 2) и радиусом 2: (x - 2)^2 + (y - 2)^2 = 4.

Найдем точки пересечения прямой BD и окружности, подставив уравнение прямой в уравнение окружности:

\[(x - 2)^2 + ((-3/2 x + 7) - 2)^2 = 4\]

\[(x - 2)^2 + (-3/2 x + 5)^2 = 4\]

\[x^2 - 4x + 4 + 9/4 x^2 - 15x + 25 = 4\]

\[13/4 x^2 - 19x + 25 = 0\]

\[13x^2 - 76x + 100 = 0\]

Решим квадратное уравнение: \[D = (-76)^2 - 4 \cdot 13 \cdot 100 = 5776 - 5200 = 576\]

\[x_1 = (76 + \sqrt{576}) / (2 \cdot 13) = (76 + 24) / 26 = 100 / 26 = 50/13\]

\[x_2 = (76 - \sqrt{576}) / (2 \cdot 13) = (76 - 24) / 26 = 52 / 26 = 2\]

Найдем соответствующие значения y:

Для x_1 = 50/13: y_1 = -3/2 ⋅ (50/13) + 7 = -75/13 + 91/13 = 16/13.

Для x_2 = 2: y_2 = -3/2 ⋅ 2 + 7 = -3 + 7 = 4.

Точки пересечения: P_1(50/13, 16/13) и P_2(2, 4).

Найдем длину хорды P_1P_2:

\[P_1P_2 = \sqrt{((50/13) - 2)^2 + ((16/13) - 4)^2} = \sqrt{((50 - 26)/13)^2 + ((16 - 52)/13)^2}\]

\[= \sqrt{(24/13)^2 + (-36/13)^2} = \sqrt{576/169 + 1296/169} = \sqrt{1872/169} = \sqrt{144 \cdot 13 / 169} = 12/13 \sqrt{13}\]

Ответ: \(\frac{12\sqrt{13}}{13}\)