В прямоугольном треугольнике АВС (угол C = 90°) АВ = 10 см, радиус вписанной в него окружности равен 2 см. Найдите площадь этого треугольника

Разбираемся:

1. Обозначим катеты прямоугольного треугольника как a и b, а гипотенузу как c.
2. Нам дано, что c = 10 см и радиус вписанной окружности r = 2 см.
3. Используем формулу, связывающую радиус вписанной окружности и стороны треугольника: r = (a + b - c) / 2.
4. Подставим известные значения: 2 = (a + b - 10) / 2.
5. Решим уравнение относительно a + b: 4 = a + b - 10, следовательно, a + b = 14.
6. Теперь, когда мы знаем сумму катетов, воспользуемся теоремой Пифагора: a² + b² = c², то есть a² + b² = 100.
7. Выразим b через a: b = 14 - a.
8. Подставим это выражение в теорему Пифагора: a² + (14 - a)² = 100.
9. Раскроем скобки и упростим уравнение: a² + 196 - 28a + a² = 100.
10. Приведем подобные слагаемые: 2a² - 28a + 96 = 0.
11. Разделим уравнение на 2: a² - 14a + 48 = 0.
12. Решим квадратное уравнение. Дискриминант D = (-14)² - 4 * 1 * 48 = 196 - 192 = 4.
13. Найдем корни уравнения: a₁ = (14 + √4) / 2 = 8, a₂ = (14 - √4) / 2 = 6.
14. Если a = 8, то b = 14 - 8 = 6. Если a = 6, то b = 14 - 6 = 8. Таким образом, катеты равны 6 и 8 см.
15. Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов: S = 0.5 * a * b.
16. Подставим значения: S = 0.5 * 6 * 8 = 24 см².

Ответ: 24 см²

Проверка за 10 секунд: Убедись, что найденная площадь соответствует формуле и известным данным.

Читерский прием: Запомни, что для прямоугольного треугольника с гипотенузой 10 и радиусом вписанной окружности 2, катеты всегда будут 6 и 8.