В прямоугольном треугольнике АВС катет АС = 75, а высота СН, опущенная на гипотенузу, равна 9√69. Найдите sin ∠ABC.

Решение:

В прямоугольном треугольнике ABC, AC = 75, CH = 9√69.

Рассмотрим прямоугольный треугольник AHC. По теореме Пифагора:

\( AH^2 + CH^2 = AC^2 \)

\( AH^2 + (9\sqrt{69})^2 = 75^2 \)

\( AH^2 + 81 \cdot 69 = 5625 \)

\( AH^2 + 5589 = 5625 \)

\( AH^2 = 5625 - 5589 \)

\( AH^2 = 36 \)

\( AH = \sqrt{36} = 6 \)

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник ABC. Нам нужно найти \( \sin \angle ABC \).

В прямоугольном треугольнике AHC, \( \sin \angle A = \frac{CH}{AC} = \frac{9\sqrt{69}}{75} = \frac{3\sqrt{69}}{25} \).

Так как \( \angle ABC \) и \( \angle A \) являются острыми углами в прямоугольном треугольнике ABC, то \( \angle ABC + \angle A = 90^{\circ} \).

Следовательно, \( \sin \angle ABC = \sin (90^{\circ} - \angle A) = \cos \angle A \).

В прямоугольном треугольнике AHC:

\( \cos \angle A = \frac{AH}{AC} = \frac{6}{75} = \frac{2}{25} \).

Таким образом, \( \sin \angle ABC = \cos \angle A = \frac{2}{25} \).

Ответ: \(\frac{2}{25}\).