В прямоугольном треугольнике АВС катет АС = 75, а высота СН, опущенная на гипотенузу, равна 9 √69. Найдите sin ∠ABC.

Решение:

В прямоугольном треугольнике ABC, AC = 75, CH = \( 9 \sqrt{69} \). Найти \( \sin \angle ABC \).

Рассмотрим прямоугольный треугольник ACH. По теореме Пифагора:

\( AH^2 = AC^2 - CH^2 \)

\( AH^2 = 75^2 - (9 \sqrt{69})^2 \)

\( AH^2 = 5625 - 81 \cdot 69 \)

\( AH^2 = 5625 - 5589 \)

\( AH^2 = 36 \)

\( AH = \sqrt{36} = 6 \)

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник ABC. В этом треугольнике:

\( \sin \angle ABC = \frac{AC}{AB} \)

Нам нужно найти AB. В прямоугольном треугольнике ABC, высота CH делит гипотенузу AB на отрезки AH и HB. Мы знаем AH = 6.

По свойству высоты прямоугольного треугольника, проведенной из вершины прямого угла:

\( CH^2 = AH \cdot HB \)

\( (9 \sqrt{69})^2 = 6 \cdot HB \)

\( 81 \cdot 69 = 6 \cdot HB \)

\( 5589 = 6 \cdot HB \)

\( HB = \frac{5589}{6} = 931.5 \)

Теперь найдём гипотенузу AB:

\( AB = AH + HB = 6 + 931.5 = 937.5 \)

Теперь можем найти \( \sin \angle ABC \):

\( \sin \angle ABC = \frac{AC}{AB} = \frac{75}{937.5} \)

\( \sin \angle ABC = \frac{75}{937.5} = \frac{750}{9375} = \frac{150}{1875} = \frac{30}{375} = \frac{6}{75} = \frac{2}{25} \)

Ответ: \( \frac{2}{25} \)