В прямоугольном треугольнике ABC угол C прямой, AC = 5, AB = 13. Высота CH проведена к гипотенузе AB. Найти CH, S и R.

Так как треугольник прямоугольный, найдём второй катет по теореме Пифагора:

\[BC=\sqrt{AB^2-AC^2}=\sqrt{13^2-5^2}=\sqrt{169-25}=12.\]

Площадь треугольника:

\[S=\frac{1}{2}\cdot AC\cdot BC=\frac{1}{2}\cdot5\cdot12=30.\]

С другой стороны, площадь через гипотенузу и высоту:

\[S=\frac{1}{2}\cdot AB\cdot CH.\]

Отсюда:

\[CH=\frac{2S}{AB}=\frac{2\cdot30}{13}=\frac{60}{13}.\]

Радиус описанной окружности прямоугольного треугольника равен половине гипотенузы:

\[R=\frac{AB}{2}=\frac{13}{2}.\]

Ответ: \(CH=\frac{60}{13}\), \(S=30\), \(R=\frac{13}{2}\).