В прямоугольном треугольнике ABC угол B равен 30°, а катет CB = 15. В треугольнике проведена биссектриса AE. Найдите длину биссектрисы AE. Найдите длину отрезка BE.

Так как треугольник ABC прямоугольный, угол C равен 90°. Тогда угол A равен:

\(\angle A=180^\circ-90^\circ-30^\circ=60^\circ\).

Найдём гипотенузу AB:

\(\cos 30^\circ=\frac{CB}{AB}\), поэтому \(AB=\frac{15}{\cos 30^\circ}=\frac{15}{\sqrt3/2}=10\sqrt3\).

По теореме о биссектрисе:

\(\frac{BE}{EC}=\frac{AB}{AC}\).

Сначала найдём катет \(AC\):

\(\tan 30^\circ=\frac{AC}{CB}\), поэтому \(AC=15\cdot\frac1{\sqrt3}=5\sqrt3\).

Тогда

\(\frac{BE}{EC}=\frac{10\sqrt3}{5\sqrt3}=2\), то есть \(BE=2EC\).

Так как \(BE+EC=BC=15\), получаем:

\(2EC+EC=15\),
\(3EC=15\),
\(EC=5\),
\(BE=10\).

Для нахождения биссектрисы применим формулу:

\(AE^2=AB\cdot AC-BE\cdot EC\).

Подставим значения:

\(AE^2=(10\sqrt3)(5\sqrt3)-10\cdot5=150-50=100\).

Следовательно, \(AE=10\).

Ответ: \(AE=10\), \(BE=10\).