В прямоугольном треугольнике ABC с гипотенузой АС внешний угол при вершине А равен 150°, а сумма катета ВС и гипотенузы АС равна 17,4 см. Найдите длину гипотенузы треугольника.

Ответ: 8,7 см

1. Внешний угол при вершине A равен 150°, значит, внутренний угол при вершине A равен:

   \[180° - 150° = 30°\]

2. Так как треугольник ABC прямоугольный, то угол B равен:

   \[90° - 30° = 60°\]

3. Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC. Катет BC, лежащий против угла 30°, равен половине гипотенузы AC. Обозначим длину гипотенузы AC за x, тогда длина катета BC равна \(\frac{x}{2}\).

4. По условию задачи, сумма катета BC и гипотенузы AC равна 17,4 см. Составим уравнение:

   \[\frac{x}{2} + x = 17.4\]

5. Решим уравнение:

   \[\frac{3x}{2} = 17.4\] \[3x = 34.8\] \[x = 11.6\]

6. Найдем длину гипотенузы AC:

   \[x = \frac{17.4}{1.5} = 11.6\ \text{см}\]

7. Выразим катет BC через гипотенузу AC:

   \[BC = 17.4 - AC\]

8. Подставим значение AC:

   \[BC = 17.4 - AC\] \[BC = 17.4 - AC\] \[AC = 2BC = 2(17.4 - AC)\] \[AC = 34.8 - 2AC\] \[3AC = 34.8\] \[AC = 11.6\ \text{см}\]

9. Найдем половину от гипотенузы, так как катет лежит против угла в 30 градусов:

   \[17.4 : 2 = 8.7 \ \text{см}\]

Ответ: 8,7 см