В прямоугольном треугольнике ABC (∠C = 90°) угол A равен 30°. Из вершины прямого угла C проведена медиана CM, а из вершины B — высота BH. Отрезки CM и BH пересекаются в точке P. Найдите длину отрезка CP, если AB = 12.

Так как треугольник ABC прямоугольный и \(\angle A=30^\circ\), то катет, лежащий напротив угла \(30^\circ\), равен половине гипотенузы:

\[BC=\frac{AB}{2}=6.\]

Второй катет:

\[AC=BC\sqrt3=6\sqrt3.\]

Введём координаты: \(C(0;0)\), \(A(6\sqrt3;0)\), \(B(0;6)\).

Точка \(M\) — середина гипотенузы \(AB\), поэтому

\[M\left(\frac{6\sqrt3}{2};\frac{6}{2}\right)=\left(3\sqrt3;3\right).\]

Высота \(BH\) в треугольнике \(BCM\) перпендикулярна \(CM\). Пусть \(P\) — основание этой высоты. Проверим, где находится проекция точки \(B\) на прямую \(CM\):

\[\overrightarrow{CM}=(3\sqrt3;3),\qquad \overrightarrow{CB}=(0;6).\]

Параметр проекции:

\[t=\frac{\overrightarrow{CB}\cdot\overrightarrow{CM}}{|\overrightarrow{CM}|^2}=\frac{18}{(3\sqrt3)^2+3^2}=\frac{18}{36}=\frac12.\]

Следовательно, \(P\) — середина отрезка \(CM\), поэтому

\[CP=\frac{CM}{2}.\]

Найдём медиану к гипотенузе:

\[CM=\frac{AB}{2}=6.\]

Тогда

\[CP=\frac{6}{2}=3.\]

Ответ: \(CP=3\).