В прямоугольном треугольнике ABC, ∠C = 90°, проведена высота СН, ∠ACH = 30°, НА = 7 см. Найди длину АВ.

Решение:

В прямоугольном треугольнике ABC, \( \angle C = 90^{\circ} \). Высота CH делит угол C на два угла: \( \angle ACH \) и \( \angle BCH \).

По условию, \( \angle ACH = 30^{\circ} \).

В прямоугольном треугольнике ACH, \( \angle AHC = 90^{\circ} \). Сумма углов в треугольнике равна \( 180^{\circ} \). Следовательно, \( \angle A = 180^{\circ} - 90^{\circ} - 30^{\circ} = 60^{\circ} \).

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник ABC. У нас есть \( \angle A = 60^{\circ} \) и отрезок HA = 7 см.

В прямоугольном треугольнике ABC, \( \angle AHC = 90^{\circ} \) (так как CH — высота).

Мы знаем, что в прямоугольном треугольнике ABC, \( \angle A = 60^{\circ} \).

Рассмотрим треугольник ACH. \( \angle A = 60^{\circ} \) и \( \angle ACH = 30^{\circ} \). И \( \angle AHC = 90^{\circ} \).

По определению косинуса угла в прямоугольном треугольнике ACH:

\( \cos(\angle A) = \frac{HA}{AC} \)

\( \cos(60^{\circ}) = \frac{7}{AC} \)

\( \frac{1}{2} = \frac{7}{AC} \)

\( AC = 7 \cdot 2 = 14 \) см.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник ABC. Мы знаем \( \angle A = 60^{\circ} \) и \( AC = 14 \) см.

По определению косинуса угла в прямоугольном треугольнике ABC:

\( \cos(\angle A) = \frac{AC}{AB} \)

\( \cos(60^{\circ}) = \frac{14}{AB} \)

\( \frac{1}{2} = \frac{14}{AB} \)

\( AB = 14 \cdot 2 = 28 \) см.

Альтернативный путь:

В прямоугольном треугольнике ABC, \( \angle C = 90^{\circ} \).

Высота CH делит прямой угол \( \angle C \) на \( \angle ACH \) и \( \angle BCH \).

\( \angle C = \angle ACH + \angle BCH = 90^{\circ} \)

\( 90^{\circ} = 30^{\circ} + \angle BCH \)

\( \angle BCH = 90^{\circ} - 30^{\circ} = 60^{\circ} \).

В прямоугольном треугольнике BCH, \( \angle BHC = 90^{\circ} \). Угол \( \angle B = 180^{\circ} - 90^{\circ} - 60^{\circ} = 30^{\circ} \).

Рассмотрим прямоугольный треугольник ACH. \( \angle AHC = 90^{\circ} \), \( \angle ACH = 30^{\circ} \), \( HA = 7 \) см.

В треугольнике ACH, \( \tan(\angle ACH) = \frac{HA}{CH} \)

\( \tan(30^{\circ}) = \frac{7}{CH} \)

\( \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{7}{CH} \)

\( CH = 7 \sqrt{3} \) см.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник ABC. Угол \( \angle B = 30^{\circ} \).

В прямоугольном треугольнике ABC:

\( \sin(\angle B) = \frac{AC}{AB} \)

\( \sin(30^{\circ}) = \frac{AC}{AB} \)

\( \frac{1}{2} = \frac{AC}{AB} \)

\( AB = 2 AC \).

Найдем AC. В прямоугольном треугольнике ACH:

\( \tan(\angle A) = \frac{CH}{HA} \)

\( \tan(\angle A) = \frac{7\sqrt{3}}{7} = \sqrt{3} \)

\( \angle A = 60^{\circ} \).

В прямоугольном треугольнике ABC:

\( \cos(\angle A) = \frac{AC}{AB} \)

\( \cos(60^{\circ}) = \frac{AC}{AB} \)

\( \frac{1}{2} = \frac{AC}{AB} \)

\( AB = 2 AC \).

В прямоугольном треугольнике ABC, \( \angle C = 90^{\circ} \) и \( \angle A = 60^{\circ} \). Значит \( \angle B = 30^{\circ} \).

По свойству высоты, проведенной из вершины прямого угла:

\( CH^2 = AH · BH \)

\( AC^2 = AH · AB \)

\( BC^2 = BH · AB \)

Из \( \triangle ACH \), \( \angle A = 60^{\circ} \), \( HA = 7 \) см.

\( AC = \frac{HA}{\cos(\angle A)} = \frac{7}{\cos(60^{\circ})} = \frac{7}{1/2} = 14 \) см.

Из \( \triangle ABC \), \( \angle A = 60^{\circ} \), \( AC = 14 \) см.

\( AB = \frac{AC}{\cos(\angle A)} = \frac{14}{\cos(60^{\circ})} = \frac{14}{1/2} = 28 \) см.

Ответ: 28 см.