В прямоугольном треугольнике ABC ∠C= 90°, ∠A = 30°. На катете АС взята точка R так, что RC равно 7 см и угол RBC = 30°. Найдите расстояние от точки R до прямой AB.

Решение:

В прямоугольном треугольнике ABC:

\( \angle C = 90^{\circ} \)

\( \angle A = 30^{\circ} \)

\( \angle B = 180^{\circ} - 90^{\circ} - 30^{\circ} = 60^{\circ} \)

В треугольнике RBC:

\( RC = 7 \text{ см} \)

\( \angle RBC = 30^{\circ} \)

\( \angle RCB = 90^{\circ} \)

\( \angle BRC = 180^{\circ} - 90^{\circ} - 30^{\circ} = 60^{\circ} \)

Найдем длину катета BC:

\( \text{tg}(\angle RBC) = \frac{RC}{BC} \)

\( BC = \frac{RC}{\text{tg}(\angle RBC)} = \frac{7}{\text{tg}(30^{\circ})} = \frac{7}{1/\sqrt{3}} = 7\sqrt{3} \text{ см} \)

Теперь найдем длину катета AC:

\( \text{tg}(\angle A) = \frac{BC}{AC} \)

\( AC = \frac{BC}{\text{tg}(\angle A)} = \frac{7\sqrt{3}}{\text{tg}(30^{\circ})} = \frac{7\sqrt{3}}{1/\sqrt{3}} = 7\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = 7 \cdot 3 = 21 \text{ см} \)

Длина AR:

\( AR = AC - RC = 21 - 7 = 14 \text{ см} \)

Нам нужно найти расстояние от точки R до прямой AB. Опустим перпендикуляр из точки R на AB. Обозначим основание перпендикуляра как H. Тогда RH — искомое расстояние.

В прямоугольном треугольнике AHR:

\( \angle A = 30^{\circ} \)

\( AR = 14 \text{ см} \)

\( \text{sin}(\angle A) = \frac{RH}{AR} \)

\( RH = AR \cdot \text{sin}(\angle A) = 14 \cdot \text{sin}(30^{\circ}) = 14 \cdot \frac{1}{2} = 7 \text{ см} \)

Ответ: 7 см.