В прямоугольном треугольнике ABC \( \angle B = 90^{\circ} \), \( AB = 12 \) см, \( AC = 24 \) см. Найдите углы, которые образует высота BH с катетами треугольника.

Решение:

Дан прямоугольный треугольник ABC, \( \angle B = 90^{\circ} \). Высота BH проведена к гипотенузе AC.

Сначала найдём один из острых углов треугольника ABC. Рассмотрим треугольник ABH.

В прямоугольном треугольнике ABC:

\( \cos(\angle A) = \frac{AB}{AC} \)

\( \cos(\angle A) = \frac{12}{24} = \frac{1}{2} \)

Следовательно, \( \angle A = 60^{\circ} \).

Так как \( \angle A + \angle C = 90^{\circ} \), то \( \angle C = 90^{\circ} - 60^{\circ} = 30^{\circ} \).

Теперь рассмотрим треугольник ABH. \( \angle AHB = 90^{\circ} \) (так как BH — высота).

\( \angle BAH = \angle A = 60^{\circ} \).

В треугольнике ABH:

\( \angle ABH + \angle BAH + \angle AHB = 180^{\circ} \)

\( \angle ABH + 60^{\circ} + 90^{\circ} = 180^{\circ} \)

\( \angle ABH = 180^{\circ} - 90^{\circ} - 60^{\circ} = 30^{\circ} \).

Это один из углов, которые образует высота BH с катетом AB. \( \angle ABH = 30^{\circ} \).

Теперь рассмотрим угол, который высота BH образует с катетом BC.

\( \angle HBC = \angle ABC - \angle ABH \)

\( \angle HBC = 90^{\circ} - 30^{\circ} = 60^{\circ} \).

Углы, которые образует высота BH с катетами:

• С катетом AB: \( \angle ABH = 30^{\circ} \)
• С катетом BC: \( \angle HBC = 60^{\circ} \)

Ответ: 30° и 60°.