4. В прямоугольном треугольнике ABC ∠C = 90°, биссектриса АК в 2 раза больше расстояния от точки К до прямой АВ. Гипотенуза АВ = 32 см. Найдите катет АС.

Ответ: 16\( \sqrt{3} \) см

Разбираемся:

1. Обозначим расстояние от точки K до прямой AB как KH. По условию, AK = 2KH.
2. Так как KH – это перпендикуляр к AB, то треугольник AKH – прямоугольный.
3. В прямоугольном треугольнике AKH имеем: sin∠KAH = KH / AK = KH / (2KH) = 1/2.
4. Следовательно, ∠KAH = 30°. Поскольку AK – биссектриса угла A, то ∠BAC = 2 ⋅ ∠KAH = 2 ⋅ 30° = 60°.
5. В прямоугольном треугольнике ABC с углом ∠BAC = 60°, угол ∠ABC = 90° - 60° = 30°.
6. Используем соотношение сторон в прямоугольном треугольнике с углом 30°: катет, лежащий против угла 30°, равен половине гипотенузы. Значит, BC = AB / 2 = 32 / 2 = 16 см.
7. Теперь найдем катет AC, используя теорему Пифагора: AC² + BC² = AB², откуда AC² = AB² - BC² = 32² - 16² = 1024 - 256 = 768.
8. Тогда AC = \( \sqrt{768} \) = \( \sqrt{256 ⋅ 3} \) = 16\( \sqrt{3} \) см.

Ответ: 16\( \sqrt{3} \) см