582 В прямоугольном треугольнике а и ь – катеты, с – гипотенуза. Найдите ь, если: a) a = 12, c = 13; б) а = 7, c = 9; в) а = 12, с = 2b; г) а = 2√3, c = 2b; д) а = 3b, с = 2√10. 583 Найдите катет прямоугольного треугольника, лежащий про- тив угла 60°, если гипотенуза равна с. 584 В прямоугольнике ABCD найдите: а) AD, если АВ = 5, AC = 13; б) ВС, если CD = 1,5, AC = 2,5; в) CD, если BD = 17, ВС = 15. 585 Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 17 с а основание равно 16 см. Найдите высоту, проведённую к с нованию. 586 Найдите: а) высоту равностороннего треугольника, если сторона равна 6 см; б) сторону равностороннего треуг если его высота равна 4 см.

582

В прямоугольном треугольнике a и b – катеты, c – гипотенуза. Найдите b, если:

1. а) a = 12, c = 13
   Краткое пояснение: Используем теорему Пифагора для нахождения катета.

   \[b = \sqrt{c^2 - a^2} = \sqrt{13^2 - 12^2} = \sqrt{169 - 144} = \sqrt{25} = 5\]

   Ответ: b = 5

2. б) a = 7, c = 9
   Краткое пояснение: Снова применяем теорему Пифагора для вычисления катета.

   \[b = \sqrt{c^2 - a^2} = \sqrt{9^2 - 7^2} = \sqrt{81 - 49} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}\]

   Ответ: b = 4√2

3. в) a = 12, c = 2b
   Краткое пояснение: Выразим b через теорему Пифагора и решим уравнение.

   \[c^2 = a^2 + b^2 \Rightarrow (2b)^2 = 12^2 + b^2 \Rightarrow 4b^2 = 144 + b^2 \Rightarrow 3b^2 = 144 \Rightarrow b^2 = 48 \Rightarrow b = \sqrt{48} = 4\sqrt{3}\]

   Ответ: b = 4√3

4. г) a = 2√3, c = 2b
   Краткое пояснение: Аналогично предыдущему пункту, выразим b через теорему Пифагора.

   \[c^2 = a^2 + b^2 \Rightarrow (2b)^2 = (2\sqrt{3})^2 + b^2 \Rightarrow 4b^2 = 12 + b^2 \Rightarrow 3b^2 = 12 \Rightarrow b^2 = 4 \Rightarrow b = 2\]

   Ответ: b = 2

5. д) a = 3b, c = 2√10
   Краткое пояснение: Выразим b через теорему Пифагора и решим уравнение.

   \[c^2 = a^2 + b^2 \Rightarrow (2\sqrt{10})^2 = (3b)^2 + b^2 \Rightarrow 40 = 9b^2 + b^2 \Rightarrow 10b^2 = 40 \Rightarrow b^2 = 4 \Rightarrow b = 2\]

   Ответ: b = 2

583

Найдите катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла 60°, если гипотенуза равна c.

Катет, лежащий против угла 60°, равен гипотенузе, умноженной на синус этого угла:

\[b = c \cdot \sin(60^\circ) = c \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\]

Ответ: \(b = \frac{c\sqrt{3}}{2}\)

584

В прямоугольнике ABCD найдите:

1. а) AD, если AB = 5, AC = 13
   Краткое пояснение: Используем теорему Пифагора в прямоугольном треугольнике ABC.

   \[AC^2 = AB^2 + BC^2 \Rightarrow BC = \sqrt{AC^2 - AB^2} = \sqrt{13^2 - 5^2} = \sqrt{169 - 25} = \sqrt{144} = 12\]

   В прямоугольнике ABCD, AD = BC, значит AD = 12

   Ответ: AD = 12

2. б) BC, если CD = 1.5, AC = 2.5
   Краткое пояснение: Используем теорему Пифагора в прямоугольном треугольнике ADC.

   \[AC^2 = AD^2 + CD^2 \Rightarrow AD = \sqrt{AC^2 - CD^2} = \sqrt{2.5^2 - 1.5^2} = \sqrt{6.25 - 2.25} = \sqrt{4} = 2\]

   В прямоугольнике ABCD, BC = AD, значит BC = 2

   Ответ: BC = 2

3. в) CD, если BD = 17, BC = 15
   Краткое пояснение: Используем теорему Пифагора в прямоугольном треугольнике BCD.

   \[BD^2 = BC^2 + CD^2 \Rightarrow CD = \sqrt{BD^2 - BC^2} = \sqrt{17^2 - 15^2} = \sqrt{289 - 225} = \sqrt{64} = 8\]

   Ответ: CD = 8

585

Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 17 см, а основание равно 16 см. Найдите высоту, проведённую к основанию.

Высота делит равнобедренный треугольник на два прямоугольных треугольника. Рассмотрим один из них.

Гипотенуза равна 17 см, один из катетов равен половине основания, то есть 16/2 = 8 см.

\[h = \sqrt{17^2 - 8^2} = \sqrt{289 - 64} = \sqrt{225} = 15\]

Ответ: Высота равна 15 см.

586

Найдите:

1. а) высоту равностороннего треугольника, если сторона равна 6 см
   Краткое пояснение: Используем формулу высоты равностороннего треугольника.

   \[h = \frac{a\sqrt{3}}{2} = \frac{6\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3}\]

   Ответ: \(h = 3\sqrt{3}\) см

2. б) сторону равностороннего треугольника, если его высота равна 4 см
   Краткое пояснение: Используем ту же формулу, но выражаем сторону через высоту.

   \[a = \frac{2h}{\sqrt{3}} = \frac{2 \cdot 4}{\sqrt{3}} = \frac{8}{\sqrt{3}} = \frac{8\sqrt{3}}{3}\]

   Ответ: \(a = \frac{8\sqrt{3}}{3}\) см