В прямоугольном треугольнике \(ABC\) с прямым углом \(C\) стороны \(AB\) и \(BC\) равны 38 и 19 соответственно. Найдите внешний угол треугольника при вершине \(B\). В ответе запишите только число.

Решение:

• В прямоугольном треугольнике \(ABC\) угол \(C\) равен 90°.
• Обозначим угол \(\angle B\) как \(\beta\).
• Сумма углов треугольника равна 180°, поэтому \(\angle A + \angle B + \angle C = 180°\).
• Отсюда следует, что \(\angle A = 180° - 90° - \beta = 90° - \beta\).
• Внешний угол при вершине \(B\) (обозначим его \(\angle B_{ext}\)) является смежным с углом \(\angle B\), поэтому \(\angle B_{ext} = 180° - \beta\).
• Также, внешний угол при вершине \(B\) равен сумме углов \(A\) и \(C\), не смежных с углом \(B\), то есть \(\angle B_{ext} = \angle A + \angle C\).
• Из условия задачи известны длины сторон \(AB\) и \(BC\). Найдем синус угла \(\beta\): \[\sin(\beta) = \frac{AC}{AB}\]
• По теореме Пифагора найдем сторону \(AC\): \[AC = \sqrt{AB^2 - BC^2} = \sqrt{38^2 - 19^2} = \sqrt{1444 - 361} = \sqrt{1083} = 19\sqrt{3}\]
• Теперь найдем синус угла \(\beta\): \[\sin(\beta) = \frac{19\sqrt{3}}{38} = \frac{\sqrt{3}}{2}\]
• Значит, \(\beta = 60°\).
• Внешний угол при вершине \(B\) равен \(\angle B_{ext} = 180° - 60° = 120°\).